Я иду от истории. Типа вот у нас волны, что ведут себя определённым образом, нужно что-то, что их описывает. Написали диффуры, получили решения, которые как раз комплексные в общем случае. Значит, штука, которой мы интересовались описывается вот таким объектом "комплексное число" (у которого есть лишняя степень свободы - как раз для граничного условия).
Идти от общего к частному принято в курсах теорфиза, и так наверно и правда лучше для запоминания, но с точки зрения понимания откуда что берется - этот подход так себе. Народ, учащийся по классической программе "Ландавшиц + чьи-то лекции" обычно не может сказать, почему координатное и импульсное представление связаны преобразованием Фурье - хотя это наверно один из самых популярных вопросов "на засыпку".