Я иду от истории. Типа вот у нас волны, что ведут себя определённым образом, нужно что-то, что их описывает. Написали диффуры, получили решения, которые как раз комплексные в общем случае. Значит, штука, которой мы интересовались описывается вот таким объектом "комплексное число" (у которого есть лишняя степень свободы - как раз для граничного условия).
Идти от общего к частному принято в курсах теорфиза, и так наверно и правда лучше для запоминания, но с точки зрения понимания откуда что берется - этот подход так себе. Народ, учащийся по классической программе "Ландавшиц + чьи-то лекции" обычно не может сказать, почему координатное и импульсное представление связаны преобразованием Фурье - хотя это наверно один из самых популярных вопросов "на засыпку".

k338914, "фаза" — именно это, а амплитуда — именно то :)
Если сдвинуть сигнал на, к примеру, 90 градусов, амплитуда не изменится.

Я случайно наткнулся на хороший вопрос на стекэксчейндже и вспомнил этот тред (да, у меня тредов было достаточно мало, чтобы я мог вспомнить об одном из них)
https://philosophy.stackexchange.com/questions/49807/why-is-the-complex-number-an-integral-part-of-physical-reality

Там ещё ссылка в лучшем ответе на ещё одно хорошее объяснение на пальцах. Не на пальцах - ну там всякие su(1) и представления групп. Тут https://arxiv.org/abs/1101.5690 поясняется, что это всё во многом - вопрос представления групп (наблюдение групповой структуры - и есть экспериментальный факт, от которого можно плясать).
Но это уже не изи ридинг, наверно.