А если серьёзно, попытаюсь написать то, что я сам хотел бы услышать в те времена, когда только о них узнал (11 класс, емнип). Сразу оговорюсь, это взгляд довольно поверхностный и утилитарный, но имхо, на первых порах полезный.

Своими словами: Это такие векторы. Они так же могут быть приколоченными к пространству, менять свои компоненты при замене базиса. Главное, что вектор - это такой подвешенный в пустоте объект, он просто есть, в пространстве векторов, а его компоненты меняются, стоит нам сказать, что давайте посмотрим из другого базиса. Так же и тензор: это тоже какая-то стрелочка в каком-то пространстве. И компоненты тензора - числа в наборе ячеек (прикреплённом к концу стрелочки) - тоже пересчитываются, стоит нам захотеть посмотреть на тензор из другого базиса. Есть важный нюанс: ячейки теперь не вытянуты в один длинный массив, а складированы в виде многомерного массива. Чтобы жизнь мёдом не казалось, каждое измерение массива помечено 0 или 1, что на письме мы видим как верхний и нижний индекс. Это влияет на правила преобразования компонент при замене базиса.

Тензором кличут то, что при замене базиса преобразуется по правилам, которые можно найти в википедии:)

Ещё, как оказалось, можно такие объекты умножать на число и складывать, прямо как векторы. Ещё можно записать их рядом и получить тензорное произведение. Потом можно в полученном произведении свернуться по паре индексов. Их можно дифференцировать и интегрировать, как и обычные векторы...

Серия постов на хабре прикольная.
Ещё есть методички, которые быстро гуглятся (советовать книги студенту, спрашивающему "что такое тензор" считаю не правильным).
http://ffmgu.ru/images/0/0e/Tensor_dla_chainikov_gavrilov.pdf
https://mipt.ru/upload/medialibrary/d02/tensor09w.pdf
Ну и на dxdy было много про всё это. Особенно про геометрические смыслы и векторы с ковекторами (верхние и нижние индексы).

Если увидишь безкоординатное изложение - знай, это изложение более правильное и современное, но поначалу непонятное. Хотя для понимания того, что такое сопряжённое векторное пространство и откуда два типа индексов было бы полезно... Однако пока моя педагогическая позиция такова, что _начинать_ с неё физикам не надо.
Для собственной успеваемости, если ты не математик и не теорфизик, лучше начать с классического изложения, имхо.