XOR
> 0.(9) - это сокращённая запись самой десятичной дроби, состоящей из бесконечного числа девяток после запятой.

Вот эта фраза — "состоящей из бесконечного числа девяток после запятой" — и есть буквально изложение алгоритма построения.

Мы не можем сказать, сколько именно это самое "бесконечное число" девяток — мы можем только вычислить некоторое приближённое значение для наперёд заданного числа девяток, последовательно прибавляя их справа в десятичной части.

> Определение предела последовательности задаётся без всяких сумм

А вот определение предела последовательности сумм — задаётся через последовательность сумм. Кто бы мог подумать.

> Всякое число, представимое в виде конечной десятичной дроби имеет более одного представления в виде десятичной дроби.

Но при этом конкретно 0.(9) — не является представлением конкретно дроби 9/9.

> Оно прекрасно работает

Перевод натуральной дроби в десятичную — поразрядное деление с переносом, оно же "деление в столбик".

Делим "столбиком" 1/9, получаем 0.(1); домножаем на 9, получаем 0.(9)

Делим "столбиком" 9/9, получаем 1.

Ой, оказывается — нихрена не работает: один и тот же метод перевода даёт разные значения.

Но можно, конечно, зажмуриться и заявить "а это одно и то же, патамушта гладиолус!" Вот только подход с зажмуриванием — не математика, а передёргивание.

> На R - как раз таки строгое равенство.

И тут мы вспоминаем, что equals и id — разные понятия.

> Это не алгоритм, это бесконечная дробь

Алгоритм — это одна из форм представления бесконечной дроби. Потому что бесконечная дробь — она, сцуко, бесконечная, и выписать сразу все её знаки в явном виде мы не можем по очевидным техническим причинам. А значит, надо каким-то образом обозначить, как именно её знаки вычисляются в общем случае.

> И с ней можно обращаться точно так же как и с любым числом, каковым она и является.

Очень, очень не хватает современным математикам базовых представлений о классах типов.

> предел бесконечной последовательности {0.9; 0.99; 0.999; 0.9999; 0.99999; ...} равен единице по определению.

Утверждение "предел последовательности равен N" — означает не равенство двух величин, а как сокращение для утверждения: для любой произвольной наперёд заданной величины мы можем найти такой элемент последовательности, начиная с которого разница между значением каждого последующего элемента и значением предела всегда меньше этой величины.

То есть, сколько бы мы в 0.(9) ни взяли девяток в дробной части — результат будет всё меньше отличаться от единицы, но при этом — всё равно отличаться, а не совпадать.