XOR
> предел - это не условие, предел - это число.

Какому числу равна бесконечность? Выпиши все знаки этого числа.

> представлением какого рационального числа является запись 0.(9)

Ну то есть, 0.(9) — уже не число, а запись.

А ведь один комментарий назад — было число.

Нет, что вы, нет никаких передёргиваний в том, чтобы объявлять одно и то же — то числом, то записью, в зависимости от того что мы хотим.

> где эквивалентность задаётся как возможность для любой произвольной наперёд заданной величины мы можем найти такой номер N, что для любого большего номера разница между элементами последовательностей с данными номерами меньше этой величины.

Ну то есть, теперь это вдруг не число — а нахождение элемента последовательности по некоторому заданному условию.

> нам достаточно определений, чтобы доказаться равенство 0.(9) = 1.

Для этого, как мы видим, достаточно в определении прописать "0.(9) = 1" — и вуаля, равенство доказано!