Пусть данная кривая разбивает на компакты A и B четырёхугольник G, так, что А и В пересекаются только по этой кривой Г0.
По условию искомая кривая Г лежит в G, её точки есть и в А, и в В. Назовём множества таких точек АГ и ВГ.
Из непрерывности отображения отрезка в кривую Г, получается, что такие множества имеют непрерывные прообразы, как-то расположенные на отрезке. Так как все точки отрезка отображаются в точки, лежащие только в A+B, то AГ+ВГ = наш отрезок. Так как на отрезке нет точек, не лежащих либо в АГ, либо в ВГ, а отрезок непрерывный, то получается, есть такие точки, лежащие и в АГ и в ВГ. Т.е. в их пересечении(надо ли тут доказывать?). По непрерывности и построению получаем, что такие точки лежат на пересечении А и В, что есть наша кривая Г0. ЧТД.
Строгость можно и дальше наводить, но идея такая вот.

Жду критики =)
Кстати, все такие задачи так или иначе будут ссылаться на непрерывность