*все предельные точки принадлежат множеству

Ну так надо шевелиться и говорить, что вот, разбили на два замкнутых множества, а сверху наложили кривую, которая тоже замкнутое, и пересечение двух замкнутых замкнуто, а значит, и первый, и второй кусок / набор кусков новой кривой замкнут. Кривая была непрерывна, значит, первый и второй наборы соединены, и точки пересечения угодили и туда, и туда.