Мой хедканон прост: каждый ученик в конце года подписывает уведомление, что он не должен колдовать вне Хогвартса, а на самом деле это является обязующим контрактом. И министерство просто отслеживает случаи нарушения контрактов.
Потому что зачем иначе именно подписи?