Кьювентри, а что тут особенного? На всякий случай уточню: мы же имеем в виду парадокс Рассела, существование множества всех множеств, так? Если так, то тут два момента:

- во-первых, мы имеем дело с глубоко неконструктивной математикой. То есть со вещами, на которые нельзя показать пальцем, построить их явно и пр. Нет алгоритма построения. В таких условиях ну как бы НЕУДИВИТЕЛЬНО, что некоторые попытки сформулировать что-то формально, но при этом "свободно" приводят к противоречиям. Мы вроде бы как "бросаем" в мир идей две "формулы", которые, как МЫ думаем, что-то означают ВМЕСТЕ. Но это неконструктивный бросок. То есть, мы просто... ну... думаем, что такой конструкт возможен. А оказывается, невозможен, брошенные нами формулы НЕ сочетаются. Но хуже того, "не сочетаться" может даже одна единственная формула сама с собой. Такой формулой является аксиома "наивной" теории множеств: мол, что для каждого свойства есть множество с таким свойством. Ну... Внезапно, это не так. В этом нет ничего удивительного: точно так же некоторые другие привычные свойства "не работают" "в целом". Не все числа можно упорядочить единственным способом. Не все числа можно вычислить алгоритмически. Не все теоремы можно доказать. Или опровергнуть. Ну ты поняла.

- Во-вторых, если теперь более последовательно рассмотреть, то дело в аксиоме, которая позволяем "генерировать" множества. Ну или, скорее, схеме аксиом. Если простая и сверхмощная схема аксиом оказывается самопроииворечивой, то... Правильно, мы должны её ослабить. Или разбавить. Это уж как выразиться. Именно так и поступили математики. Есть много аксиоматик теорий множеств разноцюй мощности. Классическая Френкеля-Цермелло импользуется не только потому, что "традиция", а потому что она... Ну, мощная самая. Есть чуть мощнее, емнип, но не более того. Мощность здесь - это выразительность теории. То есть то, как много теорем может быть в ней выражено и проверено. Что делает эта аксиоматика по сравнению с наивной аксиомой построения множеств? О, она даёт нам первоначальный объект (пустое множество) и кучу мелких правил, как из него конструировать новые множества. Фишка в том, что, во-первых, теперь мы работаем конструктивно (можем явно указать, с каким объектом сейчас работаем, какова его структура - а не как с загадочным "множеством всех множеств"). Во-вторых, каждая мелкая аксиома конструирования слабее первоначальной "наивной" аксиомы. Но их ведь несколько! И в комбинации друг с другом они создают действительно мощную теорию.