Во-вторых, Шварцу до Гарри не сильно большой резон, потому что ветви Блэков, разделившись по разными странам, мало между собой общались и пересекались. У Шварца есть свои дети и прочие родственники, родовое поместье и т.д., ему нет смысла пытаться получить контроль над имуществом и прочими делами Блэков. Он там практически никто. Пытаться влиять через Гарри на политику в Британии тоже нет смысла, т.к. Гарри абсолютно ни в чем не разбирается, и нужно потратить кучу времени на воспитание пацана, чтобы из него получился достойный глава рода, в отличие от Сириуса.

В-третьих, с учетом того, как "воспитывали" Гарри ранее, что он почти под полным контролем Дамби находится, и почти окольцован Уизлеттой, вряд ли он заинтересуется родовой магией, арканами и т.д. Он будет считать это чем-то вроде пережитков прошлого, темных пережитков, с которыми необходимо бороться, подобно тому, как Сириус выкидывал из дома книги и артефакты. А, не считая Дамби, кто еще влияет на Гарри? Его ближайшие друзья. Уизли - предатели крови и лишились аркана, потому им проще притвориться, что это все фигня и нафиг не нужно, подобно тому, как лиса в одной басне не смогла достать до винограда и, чтобы пощадить свое ЧСВ, принялась убеждать себя, что он еще зеленый. Гермиона - магглорожденная вовсе, причем настроенная прогрессистки. Она считает, что абсолютно все традиции чистокровных лишь предрассудки, которые надо искоренять (достаточно вспомнить ее эпопею с эльфами), да и сам маг. мир производит на магглорожденных впечатление отсталого средневековья. А единственные чистокровные, с которыми ей доводилось взаимодействовать, это Малфой и Ко, и Уизли, т.е. тоже далеко не лучшие образцы. Сюда же надо добавить, что Гермиона, будучи магглорожденной, не способна к аркану в принципе, а отсюда проистекает зависть, ведь это нельзя выучить по книжкам или натренировать, как заклянку из школьной программы. Оно либо есть, либо нет, в зависимости от того, принадлежишь ли ты роду или нет.
И Гарри, будучи в таком окружении, к традициям чистокровных будет относиться банально с предубеждением, чтобы банально не идти против друзей (эдакое стадное чувство). А ведь благодаря работе Дамби через Дурслей Гарри так и не научился заводить себе друзей. Рон ему фактически навязался, а Гермиона ради него с Роном впервые соврала учителям, для такой заучки, как она, это дорогого стоит.