Мне кажется, это по желанию автора, лишь бы было аккуратно и удобно читателю.
Допустим, так.

"А сегодня он мне написал.

Х: привет
У: здравствуй

В общем, это и был весь наш диалог".

Если в предложении, то тогда кавычки обязательны.

"А сегодня он мне написал: "привет". Я ответила: "Здравствуй".
В общем, это и был весь наш диалог".