Мне кажется, это по желанию автора, лишь бы было аккуратно и удобно читателю.
Допустим, так.

"А сегодня он мне написал.

Х: привет
У: здравствуй

В общем, это и был весь наш диалог".

Если в предложении, то тогда кавычки обязательны.

"А сегодня он мне написал: "привет". Я ответила: "Здравствуй".
В общем, это и был весь наш диалог".

Поскольку все телефоны и соцсети разные, строгих правил нет и быть не может. Что представляется на экране, то и будет.
Обычно имя жирным, текст курсивом, всё остальное произвольно.
Время, думаю, ставят тогда, если значимо для сюжета.

Да, в переписке возможны графические смайлики и ошибки. Людям свойственно ошибаться, тем более в смс.

Aliny4
Окей, спасибо)
хочется жить
Спасибо. Я как раз думала, что будет странно выглядеть переписка детей без ошибок

У мкня было что-то вроде диалога в мессенджерах. Я ставила курсив и выравнивала по разным краям экрана. Можно вот тут посмотреть (Жизнь Драко Малфоя, рассказанная им самим)

Feature in the Dust
Спасибо)

Пришло время для саморекламы))
Можете прокрутить до переписки и посмотреть в моем переводе тут: А из всей моей жизни они сделали мем

Я очень переживала, что она какая-то не такая и ее не опубликуют, но вроде всё прошло хорошо)

лишний человек
Самый геморрой - с оформлением пьесы, скажу я вам.

хочется жить
Ой ё, я как представлю...
Был один фанфик гигантский по сирирему на ао3, там 90% текста - переписка нескольких людей, так там ещё и каждый персонаж разным шрифтом выделен. Я как представлю как автору пришлось запариться с форматированием, мне аж страшно становится))

лишний человек
И это тоже, да.
Авторский текст, допустим, сообщения персонажа и ответы на мониторе. Или разговор с внутренним голосом.
Всё время приходится лезть смотреть со стороны читателя, так как пропустить тег, или двоеточие, или скобки ремарки... раз плюнуть.
Жопа, короче.

А тема то интересная. Посмотрю комментарии немного)

хочется жить
Человек, как-то пьесу оформлявший, торжественно кивает. Это жесть. У меня там до сих пор ремарки немного не о том, о чем надо, хотя иначе никак...