Быстрое решение в лоб: скрипт для Tampermonkey https://pastebin.com/QFt7QP8s https://pastebin.com/DPUC5Yes

Над баннером конкурса добавлена кнопка, которая открывает случайный фанфик из непрочитанных на момент загрузки страницы. Настройки категорий игнорируются.
Если нужно, чтобы фанфик открывался в новом окне, то можно раскомментировать 15 строку и удалить 14.

Процесс установки хорошо описан в Экстендере.

Как обычно, without warranty of any kind, either expressed or implied, including, but not limited to, the implied warranties of merchantability and fitness for a particular purpose.