Первое, что приходит на ум, это звук, конечно. Громкость по логарифмической шкале считается. Ну и всё, что удобно считать по логарифмической шкале - это логарифмы. В физике и вообще в реале дофига всяких экспоненциальных законов. Чтобы добраться до показателя степени, нужен... ну да, логарифм. В информатике логарифм используется буквально в самом основании области для самого понятия информации. Это то, что я помню без гугла. Понятно, что с гуглом найдётся гораздо-гораздо больше.

А, точно, ещё натуральный логарифм волшебен своей производной 1/x. И очень активно юзается в интегрировании и дифференцировании, а те, в свою очередь, являются одним из столпов современной науки как таковой.