Серый Кот, "не объясняет посему Дамби не турнули из МКМ и визенгамота" - не, эт вообще иное, там объяснять-то нечего, достаточно чуток сместить угол зрения. Вот смотри:
- Глава Визенгамота = главный судья. Он участвует, например, в наиболее важных делах плюс берёт часть административной работы.
- МКМ занимается глобальными вопросами Статута Секретности, магоэкологии, проверки соответствия магошкол, рекомендательной деятельностью, всякими международными турнирами и прочая - не политикой. Соответственно, пост главы МКМ не даёт власти или влияния особого, но много заморочек.
- Директор Хогвартса - прежде всего, администратор и связывающее звено между Хогом и Министерством.
Далее смотрим:
- Директором Хога избрали, например, по рекомендации Диппета - был годным замом, хорошо вёл административные дела и пр. Влиятельность? Ну очень опосредствованная, через воспитание поколений, хех. Больше головная боль.
- Главным судьёй избрали за знание всяких ментальных практик, набранный авторитет и то, что легко и годно справлялся с директорской должностью - администратор потому что. Влиятельность? Не особо большая, скорее информированность, поскольку важные дела, кто точно участвует главсудья - решаются голосованием Визенгамота.
- Главой МКМ избрали за международный наукомагический авторитет, связи в научной среде - плюс за административный талант, показанный на двух других должностях. Влиятельность? Околонулевая, речь о головной боли типа "как согласовать программы Дурмстранга и Шармбатона, уговорить на это их директоров, уговорить их министерства на единые критерии оценок - и при этом со всеми не разругаться". Или типа "как спасти вон тот французский заповедник от магглов", "в какую страну и где конкретно удобней и скрытней провести очередной матч Чемпионата мира по квиддичу". На внутреннюю политику стран влияние почти никакой, зато проблем... но они и нечастые - зато международного уровня.
Вот тебе простая концепция. Ни на одной из должностей Дамблдор не обладает какой-то реальной политической властью в данном взгляде. И вполне реально может быть избран на все три. И даже его это не загрузит сверх меры:) Опять же, на всех трёх он ещё и компетентен будет и выгоден же, ня! И, да. Фадж его в своё время турнул с обеих:)

"то и другое и третье - артефакт/зелье манипулирующее судьбами" - неверно. Зеркало и зелье суть средство личного могущество, а артефакт выбора суть социальная технология. Видишь разницу?