Простите, каким образом? Штатная связь в пределах Хогвартса - через камины. Быстрее - только Патронусом, но Патронуса Квиррелл вызывать не умеет. Я так понимаю, что Квиррелл тащил Драко в свой кабинет, потому что там есть камин. (Возможно, в чужие кабинеты он попасть не может, или его был ближе).

Что касается того, где хранились окаменевшие в каноне на втором курсе и почему во всей магической Британии не нашлось Мандрагоры, то я подозреваю, что это типичный ляп Роулинг. Возможно, на тот момент госпиталь Святого Мунго был ещё вообще не придуман.