Ты делаешь не то. Не надо подставлять ничего никуда. Если бы ты подставил и всё получилось, то оказалось бы, что твоё уравнение эквивалентно ему же без смещения. Что, очевидно, не так.
> f(x+d) - f(x) = d * f(x-c)
это же (f(x+d) - f(x))/d = f(x-c) - слева определение производной, справа чему равно, по твоему уравнению.
> почему d должна быть одной и той же для любых икс
По определению производной.

Mikie

Без смещения(при a = 0) будет k = 1. k = e^(-ak). Для f'(x) = f(x-a) при a != 0 можно найти(непонятно как) такие k, что f(x) = c*e^(kx) будет решением.
Ведь если подставить, то: f'(x) = c*k*e^(kx), f(x-a) = c*e^(kx-ka) = c * e^(kx) / e^(ka), c*k*e^(kx) = c*e^(kx) / e^(ka). k = 1/e^(ka), k*e^(ka) = 1. При известном a остаётся найти корни k. В частности, при a = 0 будет k = 1.

Уравнения типа ln x = kx, Cos x = kx итп не имеют решения в элементарных функциях, если что.
Пусть а=1. Тогда k~0.567, f(x)=e^0.57x
Более общо, есть функция ProductLog[z], возвращает решение z=w*e^w для w. k=ProductLog[a]/a, это я сейчас проверил в вольфрамматематике.

Mikie

Я знаю. Но как решать - не знаю. Или они не имеют методов решения? А если имеют - где почитать или какую тему гуглить?
UPD. Есть идея, что примерное решение можно найти если вместо e^(-ak) брать первые несколько членов разложения в ряд. Тейлора, например.

Тебе нужно аналитическое что-ли? Решение ищется численно, например методом Ньютона.
А вообще вот: https://en.wikipedia.org/wiki/Delay_differential_equation