Ну, что ж, сегодня я опять проснулся в три часа ночи и всё-таки допилил формулу, по которой можно найти время рассвета. Вернее, вывел заново, так как решил не мучить старый вариант. Теперь она может найти высоту Солнца над горизонтом в любой точке мира. Проверял её по Санкт-Петербургу, Вашингтону, Торонто, Гринвичу и Кейптауну. Погрешность нахождения времени восхода - не более 6 минут.
Формула, конечно, довольно громоздкая, мне пришлось разбить её аж на пять штук. Буду очень рад, если кто-нибудь её сможет поправить)

Для начала я решил использовать «классические» формулы верхней и нижней кульминации звезды, то есть, момента, когда звезда находится на максимальной высоте над горизонтом или на минимальной высоте под ним (проще говоря, для Солнца это полдень и полночь).



Где δ – это склонение звезды, а φ – широта места наблюдения
Причём со склонением у этой прекрасной звезды по имени Солнце возникают отдельные сложности, т.к. оно меняется от примерно -23,5° до 23,5° с 22 декабря по 22 июня.
Поскольку продолжительность суток практически не меняется с течением времени, можно представить высоту Солнца над горизонтом как гармоническое колебание с формулой



Где a и b – некие величины, которые нам нужно найти
Разница в угловом расстоянии между точками h(max) и h(min) равна:



Тогда рассмотрим числовую прямую с точками h(max) и h(min):



«Ноликом» я обозначил точку, которая по времени находится ровно посередине между двумя кульминациями.
Значение функции (то есть, угловое расстояние от горизонта до точки) в ней равно:



Это та самая точка b из гармонического колебания. Параметр a – это 0,5 Δh
Значит, наша функция принимает интересный, почти что финальный вид:



Формула ещё не готова к использованию, так как величина δ является переменной, а τ – это количество времени, прошедшие после астрономического полдня (а астрономический полдень не совпадает с полднем на часах)
Для начала найдём склонение Солнца в любой день.
Здесь мы тоже используем тригонометрическую функцию, на этот раз, синус.
Склонение Солнца меняется от -23,5 до 23,5 градусов, причем повышаться оно начинает с 81 дня года.
Тогда наша формула для склонения будет выглядеть примерно вот так:



Эта формула позволит посчитать склонение Солнца в N-ный день года (например, для первого января N=1, хотя кому нужно знать время рассвета первого января?). Для високосного года эту формулу придется менять, так как дней внезапно становится 366. Ну, для этого нужно всего лишь 81 заменить на 82, а 365 на 366.
А дальше начинается цирк с конями, именуемыми временем. Потому что с ним, конечно, труднее всего. Какие подводные камни? Ну, во-первых, нужно учесть то, что «истинный» полдень происходит не в 12:00 из-за несовпадения меридианного времени с временем часового пояса. Например, Санкт-Петербург находится примерно на 30 градусах восточной долготы, а меридиан UTS +3, по времени которого живёт Питер, на 45 градусах. То есть, разница весьма большая. Значит, нужно сделать поправку на это.
К тому же, из-за прекрасной формы орбиты Земли в виде эллипса даже на Гринвичском меридиане астрономический полдень наступает с точностью плюс-минус 15 минут. Эта проблема решается с помощью уравнения времени.
Как мы сделаем первую поправку? Для этого нужно точно знать долготу города и долготу меридиана, на котором основывается часовой пояс.
Тогда разница истинного времени с временем часового пояса будет равна



И тогда если наше место находится восточнее меридиана, то



Если место находится западнее меридиана, то, соответственно, плюс меняем на минус:



Вычитаем 12 часов мы из-за того, что тау мы считаем как время после истинного полдня.

Поправка с помощью уравнения времени несколько интереснее.



Для високосного года B меняем аналогично случаю с долготой
И, самое главное,



Вот такая вот замечательная серия расчётов. И полная формула:



Как считать время восхода?

Сначала находим долготу Солнца в данный день. По данной формуле (2) или по справочникам – не важно.
Затем решаем замечательное уравнение (1). Для этого функцию нужно приравнять к -0.6, не к 0, т.к. из-за астрономической рефракции при восходе или закате Солнца оно видится немного выше. Удобно решать это уравнение через графические калькуляторы, например, desmos. Кстати, все синусы и косинусы здесь в радианах, а не в градусах.
Получаем некое число, которое подставляем в формулу (3) как «тау». Обратите внимание, что формула (3) различается для мест, расположенных восточнее и западнее временного меридиана. Главное: все расчёты нужно брать с точностью до 4-5 знака после запятой!


Когда стемнеет/рассветёт?

Сумерки делятся на три категории: гражданские, навигационные, астрономические.
Гражданские сумерки – это когда закат уже был, но можно, например, читать книгу. Звёзд в такое время обычно не видно. Венеру видно, если она есть, на небе, конечно. Они происходят в то время, когда высота Солнца над горизонтом равна от -0,6 до -6 градусов.
В навигационные сумерки можно увидеть яркие звёзды, которые используются для навигации (удивительно, правда?), но при этом ещё можно рассмотреть окружающие предметы. Названы они так из-за того, что морякам удобнее всего именно в навигационные сумерки пользоваться таким прибором, как астролябией. И звёзды видно, и астролябию. Они происходят в то время, когда высота Солнца над горизонтом равна от -6 до -12 градусов.
В астрономические сумерки можно увидеть только звёзды по яркости до 4-й величины. То есть, уже стемнело, но небо слегка голубоватое. Они происходят в то время, когда высота Солнца над горизонтом равна от -12 до -18 градусов.


Конечно, есть у этого метода много недостатков. Например, та же сложность и приблизительность вычислений. Честно, я когда начинал выводить, ожидал большей точности. Гораздо большей.
Так что пользуйтесь этой формулой только в крайних случаях, лучше используйте онлайн-калькулятор. Целее будете, хех.