С парковками в центре туго.
Ходят слухи, что есть каршеринг, но сама ни разу не сталкивалась.
С такси всё отлично. Особенно, если ездить в пределах центра. На окраины таксисты не любят ездить и плохо берут заказы. Я сама в основном Яндекс.Такси пользуюсь. В среднем около 150 руб поездка. В часы пик цена возрастает и может до 200 дойти.
Пробок сейчас особо нет. Основные пробки только по пятницам после 16.00 в сторону выезда из города и в субботу утром. А в воскресенье вечером соответственно пробка на въезд в город.

Что посмотреть:
Плюсую Jane_Doe про поездку в Булгары. Там сейчас очень красиво.
Кремль, мечеть Кул Шариф, Казанская Набережная, Парк им. Горького, вечером площадь возле театра. им. Г. Камала, ул. Каюма Насыри, площадь около Театра Экият, Дворцовая площадь (около Дворца земледельцев), парк Победы (если хочется на военные машины посмотреть).