#моё #сны #математика #ГП и в конце #вопрос

В реале совершенно не соответствую своему нику: ни математикой не владею, ни магией. Зато во снах... Сегодня два последних (и, соответственно, запомнившихся - уверен, что раньше было много других) сна прям в тему. Первый: Гарри давал Рону заранее (как другу на халяву до вычитки) почитать черновик своего ориджа про магмир. Второй: смутные размышления о пределе пределов

О втором можно поподробнее. Что там внизу и справа под знаками предела (lim) я не запомнил, но что оно как-то сходилось - это запомнил. Интересный вопрос, как вообще такая конструкция может существовать. Потому что это стопудово по сну были не функции, а числовые последовательности. Но предел последовательности - это число! Ещё считается, если предел расходится определённым образом, что им может быть плюс- или минус-бесконечность, но в любом случае это точка расширенной числовой прямой. Даже если это вдруг будет комплексная последовательность - один фиг точка, ну тогда на комплексной плоскости, не суть важно. То есть, предел от предела нельзя взять, потому что слева должна быть последовательность - а после внутреннего предела получается точка, одно число.

Но как проснулся, так подумал, в смысле, нельзя? А что, нельзя составить последовательность из последовательностей? Сходиться может последовательность чего угодно, по идее, любых объектов. Даже не обязательно, чтобы они были из вполне упорядоченного множества - да пофиг, можно вообще без упорядочивания! Важно, что мы пронумеровали объекты (это тоже отношение порядка, но заданное нами извне, внутри объекты могут не соотноситься между собой по какому-либо признаку типа "не больше", "не меньше" и т.п.), чтобы между ними определялся какой-то аналог "расстояния" и чтобы было некоторое надмножество, в котором они находятся - и, емнип, обязательно, чтобы оно ещё и топологическим было.

Насчёт топологии я хз, если честно. Но как определить аналог расстояния между последовательностями (т.е. между бесконечными пронумерованными рядами чисел, по сути)? Разве что... через предел? Типа, разрешить расстояние только между сходящимися последовательностями, ну а потом определить его как расстояние между пределами этих последовательностей. Т.е. условно если одна последовательность сходится к 1/2, а другая к 0, то неважно, что там за члены последовательностей, всё равно между ними расстояние будет |1/2-0| = 1/2. Что, по идее, имеет смысл: ведь в окрестности 1/2 и 0 соответственно будет бесконечное число членов последовательности, в то время как вне этой окрестности - конечное. Т.е. как бы далеко ни начиналась последовательность от своего предела, она всё равно будет "почти вся" рядом с ним. Поэтому логично измерять расстояние между сходящимися последовательностями как расстояние между их пределами.

Ну а дальше элементарно: предел от предела последовательностей превращается в предел от предел от последовательности пределов, т.е. в самый обычный предел числовой последовательности. Надо только доказать, что все последовательности внутри сходящиеся, найти их пределы и затем уже штатно найти внешний предел. По идееееееее! По идее. Поскольку конечное число точек не влияет на предел последовательности, мы можем смело разрешить конечному числу "внутренних" последовательностей вообще не сходиться. Пофиг, на результат они не влияют - надо только доказать, что их число конечное.

Кто-нибудь знает, наверняка же в этом направлении уже думали? Как называется сей конструкт? Даже хз, как его гуглить.