Матемаг
А мне наоборот думается: что название суперважно.
Палочковая магия распространялась из Рима вместе с его культурой, а местные племена доступа к палочкам не имели и занимались ведьмовством. И исторически пользователи этих искусств на ножах. В каноне отголоски этого можно заметить по Снейповской речи с его "здесь не будет глупых маханий палочкой".
Хогвартс стал первым местом, где в европе совмещали и то и другое. Поэтому это отражено в названии и это было суперважным фактом, помогающим обьеденить разные общины магов.
У меня этот хедканон давно лежит, и потому название школы вписалось как родное.

Мне нравится идея с делением на два типа магии, с палочкой и без, что и отражено в названии школы. Таким образом ее вполне можно было назвать и университетом - из-за всеобьемлемости) Только ЗОТИ я бы не учитывала, потому что это прикладная дисциплина, которая выделена не по принципу отличия от других областей магии (как чары, транфигурация зельеварение - отдельные области), а по принципу сферы применения (защита от опасных чар и существ). Кстати, почему Защита от Темных Искусств, а не Сил, если они учатся защищаться не только и не столько от темных и опасных для здоровья чар (что они вообще изучали по темным чарам, кроме непростительных и Экспеллиармуса на дуэли Снейпа с Локхартом?), сколько от опасных магических существ? "Силы" более общее слово.

Современное волшебство универсально, но вполне можно достроить фанон и про разделение магии по полу в древности, и про разницу культур, где в одних колдовали палочками, а в других без.