На первом курсе Фадж ест с руки Дамблдора. Или, по крайней мере, пытается сделать вид. Хм, судя по тому, что он на третьем пытается подлизаться к Макгонагал, второй вариант более чем возможен.
И то, что он на втором курсе арестовывает Хагрида тоже показывает, что не ест с руки Дамблдора.
И министерская комиссия на третьем курсе... В общем, Фадж, как типичный политик, пытается усидеть на всех стульях. Но казнь Барти Крауча показывает, что в первую очередь он на своей стороне. Потому что это против интересов как Дамблдора, так и фракции Люциуса.

А место Люциусасв попечительском совете вполне могло достаться ему по наследству. И это не имеет никакого отношения к взаимодействию с Фаджем.