Verity Mage: #дифуры А как решать уравнения вида: y'(x) = y(f(x)) ? Не обязательно точно такого. Имею в виду

#дифуры
А как решать уравнения вида:
y'(x) = y(f(x)) ?
Не обязательно точно такого. Имею в виду - дифуры, куда неизвестная функция входит не только в одной точке.

8 августа 2017

14 комментариев из 37 (показать все)

Показать ещё 20 комментариев

	Экспекто Дементум 8 августа 2017
Verity Mage Беллман, Кук - Дифференциально-разностные уравнения, учебник

Lost-in-TARDIS Онлайн

8 августа 2017

>>>имелось в виду, что в уравнение неизвестные функции не только в одной точке
Ну я понимаю, что они не в одной точке. Мне просто интересно, как они могут быть в одной и что это вообще за характеристика такая: в одной точке/не в одной.

>>>Не совсем понял, что значит "еретически"?
Это значит, что мой мозг слегка не понял, что вы имели в виду, и сообщил об этом. Теперь вроде вот.

Verity Mage

8 августа 2017

Lost-in-TARDIS

Ну я понимаю, что они не в одной точке. Мне просто интересно, как они могут быть в одной и что это вообще за характеристика такая: в одной точке/не в одной.

Как написали выше - дифференциально-разностные уравнения, более общий случай - дифуры с отклоняющимся с аргументом.

	Lost-in-TARDIS Онлайн 8 августа 2017
Verity Mage усиленно пытается перевести характеристику про точку в "диффуры с отклоняющимся аргументом" А вот такая штука y'(x) = f(x, y) в одной точке, что ли?

	Mikie 8 августа 2017
Вот кстати. Тема редкая, обычным технарям обычно не рассказывается. Но можно понять, что если речь про f'(x)=f(x-c), то по идее такая штука должна расти по модулю как экспонента: f(x+d) - f(x) = d * f (x-c), где d<<c

	Verity Mage 9 августа 2017
Lost-in-TARDIS, если мы берём некую точку x, то есть у'(х) и у(х+с), то есть функция и её производная в разных точках, для любого икс. Да, криво поясняю. Но, надеюсь, понятно. Mikie, почему должна расти?

Mikie

9 августа 2017

Ну возьми запрогай (хоть в экселе) и проверь.

f(x+d) - f(x) = d * f(x-c)
- это понятно откуда?
f(x+d) = f(x) + d * f(x-c)
f(x+d) - это значение в следующей точке f(x) - в предыдущей. Пусть от нуля до с наша ф - какой-нибудь белый шум. Тогда начиная вычислять f сначала в точке с+d, потом в точке с+2d... итд мы будем получать, что f новое = f старое + небольшой шум (небольшой, т.к. он умножается на d). Это будет примерно f(c), так как d->0. Получаем, что когда x=2c, то начнётся прибавление функции уже не шумовой, а той, что мы ранее вычислили (f(c)+delta). Т.е. f(2c)=f(c)+d*f(c) И всё, пошёл рост(или убывание, в зависимости от знака f(c)).
Хотя сейчас мне пришло в голову, что мб это и не экспонента, а какая-нибудь парабола (в пределе d->0)
Но мне лень думать.

	Verity Mage 9 августа 2017
Mikie f(x+d) - f(x) = d * f(x-c) - это понятно откуда? Не понятно почему d должна быть одной и той же для любых икс.

Verity Mage

9 августа 2017

Сейчас взял для f'(x) = f(x-a) решение в виде f(x) = c*e^(kx) и проверил. Получается, что это является решением только если k*e^(-ka) = 1.
UPD. Как решить полученное уравнение относительно k - не знаю:( Но похоже что действительно экспонента. Хотя, если k - комплексное... Или мнимое. Тогда периодичность получается.

Mikie

9 августа 2017

Ты делаешь не то. Не надо подставлять ничего никуда. Если бы ты подставил и всё получилось, то оказалось бы, что твоё уравнение эквивалентно ему же без смещения. Что, очевидно, не так.
> f(x+d) - f(x) = d * f(x-c)
это же (f(x+d) - f(x))/d = f(x-c) - слева определение производной, справа чему равно, по твоему уравнению.
> почему d должна быть одной и той же для любых икс
По определению производной.

Verity Mage

9 августа 2017

Mikie

Без смещения(при a = 0) будет k = 1. k = e^(-ak). Для f'(x) = f(x-a) при a != 0 можно найти(непонятно как) такие k, что f(x) = c*e^(kx) будет решением.
Ведь если подставить, то: f'(x) = c*k*e^(kx), f(x-a) = c*e^(kx-ka) = c * e^(kx) / e^(ka), c*k*e^(kx) = c*e^(kx) / e^(ka). k = 1/e^(ka), k*e^(ka) = 1. При известном a остаётся найти корни k. В частности, при a = 0 будет k = 1.

Mikie

9 августа 2017

Уравнения типа ln x = kx, Cos x = kx итп не имеют решения в элементарных функциях, если что.
Пусть а=1. Тогда k~0.567, f(x)=e^0.57x
Более общо, есть функция ProductLog[z], возвращает решение z=w*e^w для w. k=ProductLog[a]/a, это я сейчас проверил в вольфрамматематике.

Verity Mage

9 августа 2017

Mikie

Уравнения типа ln x = kx, Cos x = kx итп не имеют решения в элементарных функциях, если что.

Я знаю. Но как решать - не знаю. Или они не имеют методов решения? А если имеют - где почитать или какую тему гуглить?
UPD. Есть идея, что примерное решение можно найти если вместо e^(-ak) брать первые несколько членов разложения в ряд. Тейлора, например.

	Mikie 10 августа 2017
Тебе нужно аналитическое что-ли? Решение ищется численно, например методом Ньютона. А вообще вот: https://en.wikipedia.org/wiki/Delay_differential_equation