ReznoVV, сходящуюся ПОДпоследовательность выделить легчайше можно. Я о теореме, что из каждой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, а если считать, что к бесконечности тоже "сходится", то из любой последовательности вообще можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Доказательство, емнип, явным образом (оно даже конструктивное, т.е. демонстрируется, как выделять) опирается на аксиому непрерывности действительных чисел. Из синусов, например, или из минус единицы в степени эн (это проще синуса) можно выделить банально подпоследовательность единиц (причём и оттуда, и оттуда, хех), хотя при желании из синуса наверняка можно чего поинтересней выделить.

Соответственно чтобы нельзя было выделить, надо брать недействительные числа и вообще числа без непрерывности. Типа алгебраических или рациональных там.

...интересно, если ли числа с несчётностью, но без непрерывности? Потому что даже алгебраические числа счётные. Хм, типа взять действительные минус рациональные? Или, круче, действительные минус алгебраические? Несчётные и без непрерывности... но мощность вырезанных точек счётная, слабенько.