Подсознание подосиновика
А вы ходите вживую на собеседования?
Может там что-то вам говорили, намекали?

Странно конечно, у вас же теперь опыт работы есть. Три месяца многовато.
Но с другой стороны в так ли много мест вы подавались?

Подсознание подосиновика
Вы же уже поработали в этой сфере. Это же не Ваше совсем! Вы думаете, в другой библиотеке что-то другое будет? Другие карточки, другие классификаторы. Насколько я помню из Ваших постов, к Вам было большое количество оправданных претензий. Может имеет смысл в другой сфере искать.
А спросить неофициальную рекомендацию на предыдущей работе это норма кмк.

Позвонить на прошлое место работы и спросить - это нормально. В целом ваша прежняя начальница могла и не преувеличивать, просто рассказать, что не устроило, а рассказать у нее явно было. А дальше уже потенциальный работодатель решает, критично оно или нет.
Неужели у вас вокруг так много вакансий в библиотеках? Одно собеседование на десяток откликов - это вообще нормально. Если вы откликнулись меньше, вас и без отзывов с прошлой работы могли не позвать чисто статистически.
Так что могли и не звонить, хотя и звонок - норма. Особенно, если есть выходы на руководителя или отдел кадров.
Так что не отчаивались и пробуйте дальше. Но, может, реально посмотреть в другую сторону?

Cорь за некорректный вопрос: а что, до этой библиотеки вас прям везде брали и уговаривали у них поработать, суля золотые горы? А тут вдруг поток желающих резко иссяк? Вы поэтому заподозрили саботаж?