Гарри Поттер и Методы Рационального Мышления (джен)

МОРФЕУС: Такой вещи не существует, Нео. Вселенная не подчиняется математическим законам.

НЕО: Тогда мы по прежнему в матрице.

Матемаг, поинтерейсуйтесь на форуме.

http://lesswrong.ru/forum/index.php

Alaric, Вы оскорбляете меня в лучших чувствах. Но это-то ладно.
Я хочу сказать, что математика -- это как бы чуть больше, чем просто игра с символами. Там нет никаких "вопросов условностей". И решения принимаются исходя из смысла того, с чем мы оперируем, а не из "удобства". Из удобства, знаете, можно сказать, что пускай все неизмеримые фигуры будут иметь объем 0, очень удобно (на самом деле, ни разу не очень, но лень придумать другой пример). Считать абсурдным, что графичек какой-то функцийки разрывен -- вот что, уж извините, абсурдно.

Теперь серьезно и о конкретном.

С одной стороны, да, функция x^y разрывна. И чем бы мы ее в нуле не доопределили, она разрывной все равно останется. Но это не дает повода доопределять как попало. Так же, как и не дает повода говорить, что она не определена в нуле (мало ли в мире разрывных функций, все равно они определены везде).

С другой, что такое возведение в степень? В принципе, для всего на свете его определение продолжает определение арифметическое, связанное с умножением, и из него часто вытекает.
Для вещественных (а также комплексных и прочих) чисел возведение в натуральную степень совпадает соответствующим числом умножений само на себя, возведение в произвольную степень продолжает эту операцию. Так же определяется и возведение в степень в группах, кольцах и прочих структурах. То есть возведение в 0 степень -- это умножение объекта самого на себя 0 раз. Чему же равно произведение пустого набора объектов? Естественно, это 1 (или, если обобщать, нейтральный по умножению элемент). Можно еще пояснить это таким образом: вот есть у нас набор чисел, если мы добавим в него пустой, то произведение не изменится, значит, произведение пустого набора нейтрально. Так же как сумма пустого набора равна 0, как логическое и пустого набора условий истинно, как логическое или пустого набора условий ложно.
Для множеств (а все свойства чисел выводятся из теории множеств) X^Y обозначает множество всех отображений из Y в X, что, впрочем, соотносится с определением умножения семейства множеств, индексированных произвольным множеством. При этом 0 -- это пустое множество, а из пустого мнодества в пустое есть ровно одно отображение -- пустое, так что опять же 0^0 = 1.
Наконец, поругаюсь умными страшными словами, о коих представление имею поверхностное. Возведение в степень в произвольной категории (а это обобщает возведение в степень и в числах, и в множествах, и во всем, что пока что на свете есть) -- это предел некоторой диаграммы. Какой не помню, но в случае 0^0 выйдет пустая, а предел пустой диаграммы -- это терминальный объект, он же 1.
Но всякие продвинутые понятие возведения в степень -- фиг с ними, это так, для подтверждения. Основная смысловая часть в арифметике еще заложена. И в ней ЕСТЕСТВЕННЫМ образов получается 0^0 = 1.

Но я таки еще раз подчеркну, что цель моя не убедить всех тут в том, что 0^0 естественным образом равен 1, а в том, чтобы донести до всех мысль, что математика играет не буковками, а смыслами. Это не формулы ради формул, а формулы ради выражения человеческих мыслей в наиболее универсальном из наиболее доступных человеческому разуму виде. Я бы сказал, чем дальше развивается математика, тем больше человечество открывает и познает возможностей человеческого мышления.

Сенектутем,

Функция x^y разрывна(на мой взгляд) не для того, чтобы что-то додумывать в точке разрыва. Этот разрыв имеет физический смысл, точнее его отсутствие в ноле. Ноль - это отсутствие операций, а при отсутствии операций определить результат невозможно. Хотя с другой стороны отсутствие операций - тоже показатель, факт))).
Ну и еще как-то меня все же смущает, что любое число в степени ноль - единица, т.е. x^0=х*(1/х)=1. Это работает, кроме основания 0, потому как ноль разделить на ноль - бесконечное множество, бессмыслица.
А про математику красиво пишите

Сенектутем
чем дальше развивается математика, тем больше человечество открывает и познает возможностей человеческого мышления.

Я бы сузил понятие "математика" до понятия "логика".

Наверное, результат возведения в нулевую степень - факт отсутствия операции либо взаимное аннигилирование двух операций. 2^0=1, т.е. отсутствие либо результат конкретной операции. А вот 0^0 - это отсутствие абсолютно всех операций. Первое имеет хоть какой-то смысл, потому как может быть результатом других операций, а 0^0 - бессмыслица.
Чем дальше, тем только больше запутываюсь.

Сенектутем
>> И решения принимаются исходя из смысла того, с чем мы оперируем, а не из "удобства".

Не понимаю, в чем противоречие :) И да, вам не удалось привести разумный пример :)
Математика - это оперирование абстрактными символами. Которых в реальности не существует. Да, математика активно используется в прочих науках, потому что этими абстрактными символами удобно описывать реальные объекты. Да, зачастую абстрактные символы изначально придумываются, чтобы описывать реальные объекты. Но если мы дискутируем о математике вообще, мы обсуждаем именно абстрактные символы, поэтому негодование мне непонятно :)

>> С одной стороны, да, функция x^y разрывна. И чем бы мы ее в нуле не доопределили, она разрывной все равно останется.

Перед тем как писать такие вещи, нужно сначала уточнить, у нас речь идет о функции от x, от y или от обеих переменных сразу. И заодно уточнить область определения :)

>> мало ли в мире разрывных функций, все равно они определены везде

Вы меня огорчаете. Функция y = 1/x в нуле не определена, и пока никому от этого плохо не было. Функция y = sqrt(x) не определена при отрицательных x. В мире есть до чертиков функций, которые где-то не определены.

>> Чему же равно произведение пустого набора объектов? Естественно, это 1 (или, если обобщать, нейтральный по умножению элемент).

Для меня это совершенно не естественно. Вы бы ещё "очевидно" написали, честное слово :)

>> При этом 0 -- это пустое множество, а из пустого мнодества в пустое есть ровно одно отображение -- пустое, так что опять же 0^0 = 1.

Вообще-то вы тут где-то потеряли функцию мощности :)

>> а все свойства чисел выводятся из теории множеств

Это зависит исключительно от того, как мы определяем числа :)

Хочу спросить у переводчиков:
я задумался над компоновкой оригинала фанфика и представленного перевода в виде "билингво" - двухязыкового варианта текста в одном файле. Столкнулся с книгами о ГП в таком электронном варианте, скачал на планшет, мне понравилось.
Имеет ли смысл выкладывать результаты моей работы на этом ресурсе?

tilloulenspiegel:
эта идея бродит в умах переводчиков, но пока отложена до момента, пока мы не догоним оригинал :)
Тема интересная, но пока точно не понятно что с ней делать.
Результаты в любом случае можешь скинуть мне на посмотреть :)

tilloulenspiegel, пожалуй, насчёт "математика = логика" я бы согласился тогда, когда это касается не прикладной (да в той же физике) математики, а фундаментально, т.е. построения аксиоматических систем. Тогда, действительно, можно определить математику начиная с самой фундаментальной её части - логики, металогики, метаметалогики и т.д. На них строится теория множеств, моделей, и прочий фундамент, а дальше уже пойдёт всякая теория чисел, групп и так далее, ввысь. Но следует учесть, что всё это касается именно фундаментальной математики, а подчас требуется применять математические выкладки без чёткой опоры на весь остальной матаппарат, на практике - совершать переходы "по смыслу", да в той же физике. Это означает, что такую вещь, как интерпретации матмоделей, в математике игнорировать ни в коем случае нельзя. Не говоря уж о том, что существуют математические способы интерпретаций, мгновенно переносящие громадные системы теорем на другие аксиоматические системы, что уже выходит за пределы чистой логики.

Jack Dilindjer, может, вы знаете что-нибудь касательно моего вопроса о переводе начала цепочки "карта и территория"? А то, откровенно говоря, лень регится на ещё на одном сайте.

Матемаг: Я немного знаком с переводчиками оттуда, но что-то конкретное - проще действительно на форуме спросить :)

Jack Dilindjer
оК, в воскресенье доберусь до компа, начну верстку. Результаты 1-й главы сброшу, там определимся

Матемаг
я так и подумал, што вас (я всех участников шабаша имею в виду) понесло. Вы уже поболтать ради поболтать затеяли.

В фразе "чем дальше развивается математика, тем больше человечество открывает и познает возможностей человеческого мышления" я бы сузил понятие "математика" до понятия "логика".

Я, упаси боже, в ваши баталии не ввязываюсь.

>>Вы уже поболтать ради поболтать затеяли.

Может и так. Или не совсем так. все обсуждения имеют все-таки отношение к самому фанфику, для того и комменты. Причем в комментах к этому фанфику можно обсудить некоторые вещи, которые в другом месте обсуждать себе дороже: начнутся вопросы о траве)))

> при отсутствии операций определить результат невозможно.
Таки неправда. Если операций ноль, то результат -- нейтральный объект.

Alaric, это уже, знаете, демагогия пошла.
> Функция y = 1/x в нуле не определена...
Вот это как раз никак не противоречит тому, что "мало ли в мире разрывных функций, все равно они определены везде".
> Для меня это совершенно не естественно.
А это не должно быть естественно для Вас, естественность -- не то, чтобы субъективная оценка. Естественно не значит "понятно", естественно значит "соответствует природе вещей". По этим же причинам аналогия с "очевидно" совершенно неуместна.
> Вообще-то вы тут где-то потеряли функцию мощности
Не потерял, пустое множество и 0 -- это одно и то же.
> Это зависит исключительно от того, как мы определяем числа :)
Ну демагогия же! У натуральных, у вещественных и прочих чисел есть вполне конкретные определения, определенные иначе объекты иначе и называются.

> вам не удалось привести разумный пример
Речь о фигурах без объема или в целом? Если в целом, то там не примеры, а вполне себе факты. Плюс попытки их пояснения.

Добавлено 19.02.2013 - 20:53:
Во, можно еще вот что добавить. Да, возведение нуля в нулевую степень -- это в не котором смысле "ничто". Но ничто бывает разное. И соль в том, что в данном случае "ничто" -- это именно единица. При умножении на единицу ничего не изменится, она являет собой "ничто" в плане умножения. Если мы что-то ноль раз умножим на ноль, ничего не изменится. Как и в случае с единицей. Абстрактный объект вполне задается своим поведением, и 0^0 во всех ситуациях (применимых к нему, конечно, то есть при умножении на что-то) ведет себя так же, как единица, то есть ей и является.
Вообще да, важное наблюдение -- математический объект сам по себе не значит ничего. Просто 0^0 ничего не значит. Значения объектам придаются описанием того, как они взаимодействуют с другими объектами. 0^0 имеет смысл только тогда, когда на него можно умножить. И вот в этой ситуации да, умножили ноль раз на ноль, ничего не изменили.

Добавлено 19.02.2013 - 21:36:
И да, еще факториал нуля равен единице, и на эту тему как-то споров практически не возникает. Непонятно, чем 0^0 качественно отличается.

>>И вот в этой ситуации да, умножили ноль раз на ноль, ничего не изменили.

Вот именно: если ничего не изменилось, то и результата у операции нет, потому как объект не изменился, да и вообще он умер. Как бы это объяснить.

Представьте, что вы – Бог. Вам надоела игрушка под названием Вселенная. Вы щелкаете пальцами - она замирает и становится... не знаю чем становится, но знаю, что она существует в привычном нам виде только в движении, когда все в ней постоянно меняется по определенным законам. А тут ноль в нулевой, статичность, это в определенном смысле смерть, после которой от нашей Вселенной останутся только воспоминания Бога.
Так вот. Если рассмотреть все это с позиции Бога, то совершилась операция, он что-то изменил (убил). А с точки зрения Вселенной… неизменность – это смерть, когда больше ничего не происходит. В общем, я не знаю, вправе ли мы рассматривать такую ситуацию, являясь частью множества под названием Вселенная. неопределенность получается, не мешало бы стать Богом, чтобы была определенность.
Пафосно как-то получилось.

> если ничего не изменилось, то и результата у операции нет, потому как объект не изменился, да и вообще он умер.
Если бы умер, то изменился бы. И если остановить вселенную, она изменится. А тут как раз все осталось на месте. С тем же успехом можно сказать, что умножение на единицу убивает -- на месте ведь все остается :)

Добавлено 19.02.2013 - 23:44:
a*0^4 = a*0*0*0*0 = 0. a*0^2 = a*0*0 = 0. a*0^1 = a*0 = 0.
Аналогично a*0^0 = a, и это при любом а. А раз при всех а а*0^0 = a, то 0^0 = 1. И потом, чем в самом деле лучше (0!)? Ведь он-то точно равен единице, это в любой детской книжке по алгоритмам есть.

>>Если бы умер, то изменился бы. И если остановить вселенную, она изменится.

C точки зрения Бога - да, а с моей - я не пойму, изменилось что-то или нет, фиксировать изменения будет нечем. Вы все же рассуждаете, будто находитесь вне Вселенной.

>>а*0^0 = a
Мне кажется, что у этого равенства ноги растут оттуда же, откуда и у ноля в нулевой. Вполне возможно, что такие равенства имеют место быть, но их области выходят за пределы Вселенной.
Это мое сюеминутное имхо, еще не известно, к чему приду.

Сенектутем
>> Ну демагогия же! У натуральных, у вещественных и прочих чисел есть вполне конкретные определения, определенные иначе объекты иначе и называются.

Ну мне прямо неловко уже... Ну хотя бы в Вики загляните (статья Вещественные числа), там упомянуто четыре разных способа их определять. И это не предел.

>> Естественно не значит "понятно", естественно значит "соответствует природе вещей". По этим же причинам аналогия с "очевидно" совершенно неуместна.

И вы после этого обвиняете меня в демагогии? Заменяя одно непонятное слово на другое непонятное словосочетание? Или вы можете определить, что такое "природа вещей"?

>> Не потерял, пустое множество и 0 -- это одно и то же.
А что тогда единица в вашем примере? :)

>> a*0^4 = a*0*0*0*0 = 0. a*0^2 = a*0*0 = 0. a*0^1 = a*0 = 0.
Аналогично a*0^0 = a, и это при любом а.

Это каким же образом аналогично-то? :)

>> И потом, чем в самом деле лучше (0!)? Ведь он-то точно равен единице, это в любой детской книжке по алгоритмам есть.

И это тоже вопрос удобства :)

>>С тем же успехом можно сказать, что умножение на единицу убивает -- на месте ведь все остается :)

как бы операции качественно отличаются. Ноль в нулевой - операция извне, ее изнутри Вселенной совершить нельзя - как бы мы тут не прыгали, она продолжит существование, потому как нельзя прекратить существование части Вселенной,только целиком. А вот умножение на единицу - внутренняя операция, причем одного объекта над абстрактно выделенным другим.
Ох, теперь мне пришла мысль, что я - тоже абстракция моего же сознания, выделенная им из Вселенной.