Гарри Поттер и Методы Рационального Мышления (джен)

Матемаг, поинтерейсуйтесь на форуме.

http://lesswrong.ru/forum/index.php

Alaric, Вы оскорбляете меня в лучших чувствах. Но это-то ладно.
Я хочу сказать, что математика -- это как бы чуть больше, чем просто игра с символами. Там нет никаких "вопросов условностей". И решения принимаются исходя из смысла того, с чем мы оперируем, а не из "удобства". Из удобства, знаете, можно сказать, что пускай все неизмеримые фигуры будут иметь объем 0, очень удобно (на самом деле, ни разу не очень, но лень придумать другой пример). Считать абсурдным, что графичек какой-то функцийки разрывен -- вот что, уж извините, абсурдно.

Теперь серьезно и о конкретном.

С одной стороны, да, функция x^y разрывна. И чем бы мы ее в нуле не доопределили, она разрывной все равно останется. Но это не дает повода доопределять как попало. Так же, как и не дает повода говорить, что она не определена в нуле (мало ли в мире разрывных функций, все равно они определены везде).

С другой, что такое возведение в степень? В принципе, для всего на свете его определение продолжает определение арифметическое, связанное с умножением, и из него часто вытекает.
Для вещественных (а также комплексных и прочих) чисел возведение в натуральную степень совпадает соответствующим числом умножений само на себя, возведение в произвольную степень продолжает эту операцию. Так же определяется и возведение в степень в группах, кольцах и прочих структурах. То есть возведение в 0 степень -- это умножение объекта самого на себя 0 раз. Чему же равно произведение пустого набора объектов? Естественно, это 1 (или, если обобщать, нейтральный по умножению элемент). Можно еще пояснить это таким образом: вот есть у нас набор чисел, если мы добавим в него пустой, то произведение не изменится, значит, произведение пустого набора нейтрально. Так же как сумма пустого набора равна 0, как логическое и пустого набора условий истинно, как логическое или пустого набора условий ложно.
Для множеств (а все свойства чисел выводятся из теории множеств) X^Y обозначает множество всех отображений из Y в X, что, впрочем, соотносится с определением умножения семейства множеств, индексированных произвольным множеством. При этом 0 -- это пустое множество, а из пустого мнодества в пустое есть ровно одно отображение -- пустое, так что опять же 0^0 = 1.
Наконец, поругаюсь умными страшными словами, о коих представление имею поверхностное. Возведение в степень в произвольной категории (а это обобщает возведение в степень и в числах, и в множествах, и во всем, что пока что на свете есть) -- это предел некоторой диаграммы. Какой не помню, но в случае 0^0 выйдет пустая, а предел пустой диаграммы -- это терминальный объект, он же 1.
Но всякие продвинутые понятие возведения в степень -- фиг с ними, это так, для подтверждения. Основная смысловая часть в арифметике еще заложена. И в ней ЕСТЕСТВЕННЫМ образов получается 0^0 = 1.

Но я таки еще раз подчеркну, что цель моя не убедить всех тут в том, что 0^0 естественным образом равен 1, а в том, чтобы донести до всех мысль, что математика играет не буковками, а смыслами. Это не формулы ради формул, а формулы ради выражения человеческих мыслей в наиболее универсальном из наиболее доступных человеческому разуму виде. Я бы сказал, чем дальше развивается математика, тем больше человечество открывает и познает возможностей человеческого мышления.

Сенектутем,

Функция x^y разрывна(на мой взгляд) не для того, чтобы что-то додумывать в точке разрыва. Этот разрыв имеет физический смысл, точнее его отсутствие в ноле. Ноль - это отсутствие операций, а при отсутствии операций определить результат невозможно. Хотя с другой стороны отсутствие операций - тоже показатель, факт))).
Ну и еще как-то меня все же смущает, что любое число в степени ноль - единица, т.е. x^0=х*(1/х)=1. Это работает, кроме основания 0, потому как ноль разделить на ноль - бесконечное множество, бессмыслица.
А про математику красиво пишите

Сенектутем
чем дальше развивается математика, тем больше человечество открывает и познает возможностей человеческого мышления.

Я бы сузил понятие "математика" до понятия "логика".

Наверное, результат возведения в нулевую степень - факт отсутствия операции либо взаимное аннигилирование двух операций. 2^0=1, т.е. отсутствие либо результат конкретной операции. А вот 0^0 - это отсутствие абсолютно всех операций. Первое имеет хоть какой-то смысл, потому как может быть результатом других операций, а 0^0 - бессмыслица.
Чем дальше, тем только больше запутываюсь.

Сенектутем
>> И решения принимаются исходя из смысла того, с чем мы оперируем, а не из "удобства".

Не понимаю, в чем противоречие :) И да, вам не удалось привести разумный пример :)
Математика - это оперирование абстрактными символами. Которых в реальности не существует. Да, математика активно используется в прочих науках, потому что этими абстрактными символами удобно описывать реальные объекты. Да, зачастую абстрактные символы изначально придумываются, чтобы описывать реальные объекты. Но если мы дискутируем о математике вообще, мы обсуждаем именно абстрактные символы, поэтому негодование мне непонятно :)

>> С одной стороны, да, функция x^y разрывна. И чем бы мы ее в нуле не доопределили, она разрывной все равно останется.

Перед тем как писать такие вещи, нужно сначала уточнить, у нас речь идет о функции от x, от y или от обеих переменных сразу. И заодно уточнить область определения :)

>> мало ли в мире разрывных функций, все равно они определены везде

Вы меня огорчаете. Функция y = 1/x в нуле не определена, и пока никому от этого плохо не было. Функция y = sqrt(x) не определена при отрицательных x. В мире есть до чертиков функций, которые где-то не определены.

>> Чему же равно произведение пустого набора объектов? Естественно, это 1 (или, если обобщать, нейтральный по умножению элемент).

Для меня это совершенно не естественно. Вы бы ещё "очевидно" написали, честное слово :)

>> При этом 0 -- это пустое множество, а из пустого мнодества в пустое есть ровно одно отображение -- пустое, так что опять же 0^0 = 1.

Вообще-то вы тут где-то потеряли функцию мощности :)

>> а все свойства чисел выводятся из теории множеств

Это зависит исключительно от того, как мы определяем числа :)

Хочу спросить у переводчиков:
я задумался над компоновкой оригинала фанфика и представленного перевода в виде "билингво" - двухязыкового варианта текста в одном файле. Столкнулся с книгами о ГП в таком электронном варианте, скачал на планшет, мне понравилось.
Имеет ли смысл выкладывать результаты моей работы на этом ресурсе?

tilloulenspiegel:
эта идея бродит в умах переводчиков, но пока отложена до момента, пока мы не догоним оригинал :)
Тема интересная, но пока точно не понятно что с ней делать.
Результаты в любом случае можешь скинуть мне на посмотреть :)

tilloulenspiegel, пожалуй, насчёт "математика = логика" я бы согласился тогда, когда это касается не прикладной (да в той же физике) математики, а фундаментально, т.е. построения аксиоматических систем. Тогда, действительно, можно определить математику начиная с самой фундаментальной её части - логики, металогики, метаметалогики и т.д. На них строится теория множеств, моделей, и прочий фундамент, а дальше уже пойдёт всякая теория чисел, групп и так далее, ввысь. Но следует учесть, что всё это касается именно фундаментальной математики, а подчас требуется применять математические выкладки без чёткой опоры на весь остальной матаппарат, на практике - совершать переходы "по смыслу", да в той же физике. Это означает, что такую вещь, как интерпретации матмоделей, в математике игнорировать ни в коем случае нельзя. Не говоря уж о том, что существуют математические способы интерпретаций, мгновенно переносящие громадные системы теорем на другие аксиоматические системы, что уже выходит за пределы чистой логики.

Jack Dilindjer, может, вы знаете что-нибудь касательно моего вопроса о переводе начала цепочки "карта и территория"? А то, откровенно говоря, лень регится на ещё на одном сайте.

Матемаг: Я немного знаком с переводчиками оттуда, но что-то конкретное - проще действительно на форуме спросить :)

Jack Dilindjer
оК, в воскресенье доберусь до компа, начну верстку. Результаты 1-й главы сброшу, там определимся

Матемаг
я так и подумал, што вас (я всех участников шабаша имею в виду) понесло. Вы уже поболтать ради поболтать затеяли.

В фразе "чем дальше развивается математика, тем больше человечество открывает и познает возможностей человеческого мышления" я бы сузил понятие "математика" до понятия "логика".

Я, упаси боже, в ваши баталии не ввязываюсь.

>>Вы уже поболтать ради поболтать затеяли.

Может и так. Или не совсем так. все обсуждения имеют все-таки отношение к самому фанфику, для того и комменты. Причем в комментах к этому фанфику можно обсудить некоторые вещи, которые в другом месте обсуждать себе дороже: начнутся вопросы о траве)))

> при отсутствии операций определить результат невозможно.
Таки неправда. Если операций ноль, то результат -- нейтральный объект.

Alaric, это уже, знаете, демагогия пошла.
> Функция y = 1/x в нуле не определена...
Вот это как раз никак не противоречит тому, что "мало ли в мире разрывных функций, все равно они определены везде".
> Для меня это совершенно не естественно.
А это не должно быть естественно для Вас, естественность -- не то, чтобы субъективная оценка. Естественно не значит "понятно", естественно значит "соответствует природе вещей". По этим же причинам аналогия с "очевидно" совершенно неуместна.
> Вообще-то вы тут где-то потеряли функцию мощности
Не потерял, пустое множество и 0 -- это одно и то же.
> Это зависит исключительно от того, как мы определяем числа :)
Ну демагогия же! У натуральных, у вещественных и прочих чисел есть вполне конкретные определения, определенные иначе объекты иначе и называются.

> вам не удалось привести разумный пример
Речь о фигурах без объема или в целом? Если в целом, то там не примеры, а вполне себе факты. Плюс попытки их пояснения.

Добавлено 19.02.2013 - 20:53:
Во, можно еще вот что добавить. Да, возведение нуля в нулевую степень -- это в не котором смысле "ничто". Но ничто бывает разное. И соль в том, что в данном случае "ничто" -- это именно единица. При умножении на единицу ничего не изменится, она являет собой "ничто" в плане умножения. Если мы что-то ноль раз умножим на ноль, ничего не изменится. Как и в случае с единицей. Абстрактный объект вполне задается своим поведением, и 0^0 во всех ситуациях (применимых к нему, конечно, то есть при умножении на что-то) ведет себя так же, как единица, то есть ей и является.
Вообще да, важное наблюдение -- математический объект сам по себе не значит ничего. Просто 0^0 ничего не значит. Значения объектам придаются описанием того, как они взаимодействуют с другими объектами. 0^0 имеет смысл только тогда, когда на него можно умножить. И вот в этой ситуации да, умножили ноль раз на ноль, ничего не изменили.

Добавлено 19.02.2013 - 21:36:
И да, еще факториал нуля равен единице, и на эту тему как-то споров практически не возникает. Непонятно, чем 0^0 качественно отличается.

>>И вот в этой ситуации да, умножили ноль раз на ноль, ничего не изменили.

Вот именно: если ничего не изменилось, то и результата у операции нет, потому как объект не изменился, да и вообще он умер. Как бы это объяснить.

Представьте, что вы – Бог. Вам надоела игрушка под названием Вселенная. Вы щелкаете пальцами - она замирает и становится... не знаю чем становится, но знаю, что она существует в привычном нам виде только в движении, когда все в ней постоянно меняется по определенным законам. А тут ноль в нулевой, статичность, это в определенном смысле смерть, после которой от нашей Вселенной останутся только воспоминания Бога.
Так вот. Если рассмотреть все это с позиции Бога, то совершилась операция, он что-то изменил (убил). А с точки зрения Вселенной… неизменность – это смерть, когда больше ничего не происходит. В общем, я не знаю, вправе ли мы рассматривать такую ситуацию, являясь частью множества под названием Вселенная. неопределенность получается, не мешало бы стать Богом, чтобы была определенность.
Пафосно как-то получилось.

> если ничего не изменилось, то и результата у операции нет, потому как объект не изменился, да и вообще он умер.
Если бы умер, то изменился бы. И если остановить вселенную, она изменится. А тут как раз все осталось на месте. С тем же успехом можно сказать, что умножение на единицу убивает -- на месте ведь все остается :)

Добавлено 19.02.2013 - 23:44:
a*0^4 = a*0*0*0*0 = 0. a*0^2 = a*0*0 = 0. a*0^1 = a*0 = 0.
Аналогично a*0^0 = a, и это при любом а. А раз при всех а а*0^0 = a, то 0^0 = 1. И потом, чем в самом деле лучше (0!)? Ведь он-то точно равен единице, это в любой детской книжке по алгоритмам есть.

>>Если бы умер, то изменился бы. И если остановить вселенную, она изменится.

C точки зрения Бога - да, а с моей - я не пойму, изменилось что-то или нет, фиксировать изменения будет нечем. Вы все же рассуждаете, будто находитесь вне Вселенной.

>>а*0^0 = a
Мне кажется, что у этого равенства ноги растут оттуда же, откуда и у ноля в нулевой. Вполне возможно, что такие равенства имеют место быть, но их области выходят за пределы Вселенной.
Это мое сюеминутное имхо, еще не известно, к чему приду.

Сенектутем
>> Ну демагогия же! У натуральных, у вещественных и прочих чисел есть вполне конкретные определения, определенные иначе объекты иначе и называются.

Ну мне прямо неловко уже... Ну хотя бы в Вики загляните (статья Вещественные числа), там упомянуто четыре разных способа их определять. И это не предел.

>> Естественно не значит "понятно", естественно значит "соответствует природе вещей". По этим же причинам аналогия с "очевидно" совершенно неуместна.

И вы после этого обвиняете меня в демагогии? Заменяя одно непонятное слово на другое непонятное словосочетание? Или вы можете определить, что такое "природа вещей"?

>> Не потерял, пустое множество и 0 -- это одно и то же.
А что тогда единица в вашем примере? :)

>> a*0^4 = a*0*0*0*0 = 0. a*0^2 = a*0*0 = 0. a*0^1 = a*0 = 0.
Аналогично a*0^0 = a, и это при любом а.

Это каким же образом аналогично-то? :)

>> И потом, чем в самом деле лучше (0!)? Ведь он-то точно равен единице, это в любой детской книжке по алгоритмам есть.

И это тоже вопрос удобства :)

>>С тем же успехом можно сказать, что умножение на единицу убивает -- на месте ведь все остается :)

как бы операции качественно отличаются. Ноль в нулевой - операция извне, ее изнутри Вселенной совершить нельзя - как бы мы тут не прыгали, она продолжит существование, потому как нельзя прекратить существование части Вселенной,только целиком. А вот умножение на единицу - внутренняя операция, причем одного объекта над абстрактно выделенным другим.
Ох, теперь мне пришла мысль, что я - тоже абстракция моего же сознания, выделенная им из Вселенной.

> Ну мне прямо неловко уже... Ну хотя бы в Вики загляните (статья Вещественные числа), там упомянуто четыре разных способа их определять. И это не предел.
Не зря Вам неловко :) Суть в том, что все эти четыре (и многие другие) определения задают тем не менее один и тот же объект. И даже если взять модель, где вещественных чисел счетное число, это все равно будут те же самые вещественные числа.

> И вы после этого обвиняете меня в демагогии? Заменяя одно непонятное слово на другое непонятное словосочетание? Или вы можете определить, что такое "природа вещей"?
Ну уж после этого точно обвиняю! :) После такого толстого троллинга только и остается, что словарь процитировать: естественный -- это "обыкновенный, нормальный; обусловленный общим, привычным ходом вещей". За определением всех использованных в определении понятий извольте также при необходимости посмотреть в словаре.

> А что тогда единица в вашем примере?
Известно что. Это {0}. А двойка, ежели интересно, это {0, 1} = {0, {0}}= {{}, {{}}}. И так далее. Ординалы это называется. И это суть натуральные числа. И X^Y, равное множеству отображений из Y в X, для ординалов как раз совпадает с соответствующими натуральными числами. Вообще, это довольно интересный и красивый факт. В данном случае 0^0 = {}^{} = {{}} = 1.

> Это каким же образом аналогично-то? :)
О_о Вы, верно, издеваетесь, сударь! a*0^4 -- это умножение а на 0 четыре раза, а a*0^0 -- это, таки аналогично, умножение а на 0 ни одного раза.

> И это тоже вопрос удобства
Это вопрос определения факториала. Но, ежели угодно, все это можно считать вопросом удобства. Да, 3! = 6 потому только, что это удобно. Вот только определять факториал отдельно для каждого числа не очень удобно. Все-таки есть общее определение для всех чисел, и для 0 оно гласит, что 0! = 1. Как и для возведения в степень есть общее определение, и именно из него выходит, что 0^0 = 1, никаких дополнительных соглашений для этого не нужно. То есть это "обусловлено общим, привычным ходом вещей". Если он для Вас непривычен, то самое время привыкнуть! Так вот на старости лет можно научиться возводить в степень :)
Вообще, усилия многих современных математиков направлены на то, чтобы описать все минимальным набором правил, без всяких дополнительных соглашений и частных случаев. И я таки не понимаю, чего такого плохого Вы видите в этой концепции, что так активно ей сопротивляетесь.