Гарри Поттер и Методы Рационального Мышления (джен)

Матемаг,
>>Реальность одна, но слишком сложная.
Ваш сегодняшний пост.

>>Ну, и вообще, законы реальности - слишком сложно. Я вот с нолем разобраться не могу.
Мой вчерашний пост. Пойдем по кругу?

Добавлено 17.02.2013 - 16:13:
А нет, по спирали.

Матиматика не является естественной наукой, так что к реальности отношения не имеет :-)

PS. Почему-то математику постоянно путают с естественными науками.

valexey, имхо, математика вообще не является наукой, а языком науки (и не только её!), что во многие разы важней. Научный метод там того, не работает, т.к. можно именно ТВОРИТЬ математические системы, соблюдая определённые правила (непротиворечивость, полнота, независимость аксиом, определённые правила для базирующихся на выбранной логике и теории множеств систем, связность общей структуры, общие принципы, вроде математической строгости и доказательности и так далее - но к научному методы с его фальсифицируемостью по Попперу, бритве Оккама и проверки эксперимента практикой это имеет косвенное отношение).

madness, конечно по спирали! Ведь каждый раз будет всё более уточнять и усложнять наши концепции, пока не построим прямо в комментах философию науки:)

valexey, математика - инструмент познания реальности. Как это не имеет? Она и призвана создать математическую модель реальности. Или по вашему расчеты в физике не ведутся?

Добавлено 17.02.2013 - 17:28:
Матемаг, ага, непременно построим)))

madness, ну дык это всё-таки язык, а не наука! Даже не так, это инструмент для создания мириад языков, которые уже применяются для познания реальности. Ближе к инженерии, чем к науке: нет никакой способа подтвердить экспериментом, есть только удобство и нужность построенной конструкции, а также фантазии и правила построения. Не открываешь законы природы, а создаёшь язык для описания этих законов... и не только природы, и не только законов. Вот как инженерия предоставляет инструменты для экспериментов, так и математика предоставляет инструменты для теорий. Замечательное сходство, не так ли?

"Alaric, так вы математик или нет, ну любопытно мне!"
Мне кажется, говорить о предельных переходах могут математики или физики. А вот вспоминать о раскрытии неопределенностей могут скорее матемматики, так что... :) Еще бы про замечательные пределы вспомнил ))

> Что касается операции 0^0, то она тоже несколько абсурдна, но здесь иногда для удобства просто постулируют, что результат этой операции равен единице.
Эээээ! Я протестую против этого варварства! Ничего не абсурдно, и не иногда, а всегда так и надо, и не для удобства, а потому, что это так, потому, что это _естественно_ так считать. Это, разумеется, число стрелок из пустого в пустое, а их ровно одна.

Господа, ну зачем вы создаёте комплекс неполноценности у большинства читателей?
Какой такой павлин-мавлин?

>> Ничего не абсурдно, и не иногда, а всегда так и надо, и не для удобства, а потому, что это так, потому, что это _естественно_ так считать.

Оно не очень естественно. А "абсурдно", потому что есть некоторая "разрывность" - ноль в любой положительной степени, в том числе, сколь угодно малой, равен нулю. С другой стороны, да, любое сколь угодно малое положительное число в нулевой степени равно единице. Поэтому тут исключительно вопрос удобства, какую функцию делать непрерывной - степенную или показательную :) Принято делать степенную, но это исключительно вопрос условности :)

кстати, а в чём дело-то? Вы бы заглянули ещё ко мне в комменты, мы там с Palladium_Silver46 очень интересно беседуем о современной физике... постами под 3000 знаков:) Не нравится - не читайте, комменты к ГПиМРЦ испокон времён отличались некоторой... рациональной сложностью:)

http://www.flibusta.net/b/289629/read
Вот кстати рассказ про миры с разными законами математики.

PS: http://lesswrong.ru/w/Как_убедить_меня_в_том,_что_2_плюс_2_равно_3

Mr.Кролик, не читал, но точно "с разной математикой", а не с "другим математическим базисом под/над физикой?". А то математика одна, просто аксиоматических систем в ней можно построить сколько угодно, даже на уровне оснований математики. Пойду гляну, что это.


Любопытно, оказался прав - именно разные аксиоматические системы. Автор умудрился с помощью минимальных знаний читателя о математике изложить довольно любопытные идеи. Популяризовано, словом, однако интересно. Мир, где возможно воздействовать на математическую структуру другой вселенной, хе, вот только как-то слабоваты эффекты таких воздействий. Ну да ладно.


Уважаемые переводчики, ведь кто-то из вас связан с проектом перевода "lesswrong.ru"? Мне хотелось бы знать, когда, наконец, будет переведён первый пост цепочки "Карта и территория"? Хочу начать её читать и вообще систематически знакомиться с материалами сайта с этой цепочки, но как пару месяцев назад, так и сейчас этот пост висит в воздухе. Перфекционизм не позволяет мне читать незавершённое:(

МОРФЕУС: Такой вещи не существует, Нео. Вселенная не подчиняется математическим законам.

НЕО: Тогда мы по прежнему в матрице.

Матемаг, поинтерейсуйтесь на форуме.

http://lesswrong.ru/forum/index.php

Alaric, Вы оскорбляете меня в лучших чувствах. Но это-то ладно.
Я хочу сказать, что математика -- это как бы чуть больше, чем просто игра с символами. Там нет никаких "вопросов условностей". И решения принимаются исходя из смысла того, с чем мы оперируем, а не из "удобства". Из удобства, знаете, можно сказать, что пускай все неизмеримые фигуры будут иметь объем 0, очень удобно (на самом деле, ни разу не очень, но лень придумать другой пример). Считать абсурдным, что графичек какой-то функцийки разрывен -- вот что, уж извините, абсурдно.

Теперь серьезно и о конкретном.

С одной стороны, да, функция x^y разрывна. И чем бы мы ее в нуле не доопределили, она разрывной все равно останется. Но это не дает повода доопределять как попало. Так же, как и не дает повода говорить, что она не определена в нуле (мало ли в мире разрывных функций, все равно они определены везде).

С другой, что такое возведение в степень? В принципе, для всего на свете его определение продолжает определение арифметическое, связанное с умножением, и из него часто вытекает.
Для вещественных (а также комплексных и прочих) чисел возведение в натуральную степень совпадает соответствующим числом умножений само на себя, возведение в произвольную степень продолжает эту операцию. Так же определяется и возведение в степень в группах, кольцах и прочих структурах. То есть возведение в 0 степень -- это умножение объекта самого на себя 0 раз. Чему же равно произведение пустого набора объектов? Естественно, это 1 (или, если обобщать, нейтральный по умножению элемент). Можно еще пояснить это таким образом: вот есть у нас набор чисел, если мы добавим в него пустой, то произведение не изменится, значит, произведение пустого набора нейтрально. Так же как сумма пустого набора равна 0, как логическое и пустого набора условий истинно, как логическое или пустого набора условий ложно.
Для множеств (а все свойства чисел выводятся из теории множеств) X^Y обозначает множество всех отображений из Y в X, что, впрочем, соотносится с определением умножения семейства множеств, индексированных произвольным множеством. При этом 0 -- это пустое множество, а из пустого мнодества в пустое есть ровно одно отображение -- пустое, так что опять же 0^0 = 1.
Наконец, поругаюсь умными страшными словами, о коих представление имею поверхностное. Возведение в степень в произвольной категории (а это обобщает возведение в степень и в числах, и в множествах, и во всем, что пока что на свете есть) -- это предел некоторой диаграммы. Какой не помню, но в случае 0^0 выйдет пустая, а предел пустой диаграммы -- это терминальный объект, он же 1.
Но всякие продвинутые понятие возведения в степень -- фиг с ними, это так, для подтверждения. Основная смысловая часть в арифметике еще заложена. И в ней ЕСТЕСТВЕННЫМ образов получается 0^0 = 1.

Но я таки еще раз подчеркну, что цель моя не убедить всех тут в том, что 0^0 естественным образом равен 1, а в том, чтобы донести до всех мысль, что математика играет не буковками, а смыслами. Это не формулы ради формул, а формулы ради выражения человеческих мыслей в наиболее универсальном из наиболее доступных человеческому разуму виде. Я бы сказал, чем дальше развивается математика, тем больше человечество открывает и познает возможностей человеческого мышления.

Сенектутем,

Функция x^y разрывна(на мой взгляд) не для того, чтобы что-то додумывать в точке разрыва. Этот разрыв имеет физический смысл, точнее его отсутствие в ноле. Ноль - это отсутствие операций, а при отсутствии операций определить результат невозможно. Хотя с другой стороны отсутствие операций - тоже показатель, факт))).
Ну и еще как-то меня все же смущает, что любое число в степени ноль - единица, т.е. x^0=х*(1/х)=1. Это работает, кроме основания 0, потому как ноль разделить на ноль - бесконечное множество, бессмыслица.
А про математику красиво пишите

Сенектутем
чем дальше развивается математика, тем больше человечество открывает и познает возможностей человеческого мышления.

Я бы сузил понятие "математика" до понятия "логика".

Наверное, результат возведения в нулевую степень - факт отсутствия операции либо взаимное аннигилирование двух операций. 2^0=1, т.е. отсутствие либо результат конкретной операции. А вот 0^0 - это отсутствие абсолютно всех операций. Первое имеет хоть какой-то смысл, потому как может быть результатом других операций, а 0^0 - бессмыслица.
Чем дальше, тем только больше запутываюсь.

Сенектутем
>> И решения принимаются исходя из смысла того, с чем мы оперируем, а не из "удобства".

Не понимаю, в чем противоречие :) И да, вам не удалось привести разумный пример :)
Математика - это оперирование абстрактными символами. Которых в реальности не существует. Да, математика активно используется в прочих науках, потому что этими абстрактными символами удобно описывать реальные объекты. Да, зачастую абстрактные символы изначально придумываются, чтобы описывать реальные объекты. Но если мы дискутируем о математике вообще, мы обсуждаем именно абстрактные символы, поэтому негодование мне непонятно :)

>> С одной стороны, да, функция x^y разрывна. И чем бы мы ее в нуле не доопределили, она разрывной все равно останется.

Перед тем как писать такие вещи, нужно сначала уточнить, у нас речь идет о функции от x, от y или от обеих переменных сразу. И заодно уточнить область определения :)

>> мало ли в мире разрывных функций, все равно они определены везде

Вы меня огорчаете. Функция y = 1/x в нуле не определена, и пока никому от этого плохо не было. Функция y = sqrt(x) не определена при отрицательных x. В мире есть до чертиков функций, которые где-то не определены.

>> Чему же равно произведение пустого набора объектов? Естественно, это 1 (или, если обобщать, нейтральный по умножению элемент).

Для меня это совершенно не естественно. Вы бы ещё "очевидно" написали, честное слово :)

>> При этом 0 -- это пустое множество, а из пустого мнодества в пустое есть ровно одно отображение -- пустое, так что опять же 0^0 = 1.

Вообще-то вы тут где-то потеряли функцию мощности :)

>> а все свойства чисел выводятся из теории множеств

Это зависит исключительно от того, как мы определяем числа :)