Популярное- Новинки
- Горячие новинки
- Аудиофанфики
- Все фанфики
- Рекомендации
- Коллекции
- Заявки
- Конкурсы
- Фанфик в файл
- Таблица переводов
- 0
Включить тёмную тему - Справка по сайту
Популярное Включить тёмную тему
 Такой вопрос. Может кто-нибудь с навыками гугления или математики выше 9000 найти простое доказательство, что непрерывные кривые, соединяющие противолежащие точки выпуклого четырёхугольника ВНУТРИ НЕГО обязательно пересекутся? Или, иначе, дано:
- Плоскость, 2-мерное евклидово пространство - 2 произвольные несовпадающие прямые - На двух любых соседних лучах их пересечения берём 4 различные точки: любые 2 на одном, любые 2 на другом. - Соединяем вторую от точки пересечения точку первого луча с первой от точки пересечения второго и наоборот произвольными кривыми. Вопрос: почему они пересекутся? Подразумевается, что мне не надо будет осваивать 4-томный 6-летний курс топологии, чтобы понять ответ; матан, включая рассуждения на языке эпсилон-дельта понимаю, но не совсем понимаю, как их присобачить к кривым, не являющимся однозначными функциями с любой (бесконечной в том числе) длиной и возможностью произвольного числа самопересечений. http://dxdy.ru/topic81619.html - единственная найденная на тему ссылка. Куча топологических (печаль-тоска-Нургл) рассуждений прилагается. ...к вопросу "зачем мне это?" Ну. Одна любопытная задачка к такому сводится. Ещё интересней было бы увидеть конструктивное доказательство существования, к слову. #вопрос #математика #моё 21 ноября 2014
|
 |
|
|
Функция, не заданная аналитически, всего лишь функция, не заданная аналитически в явном виде. Ее можно представить в виде суммы N-го числа явно заданных функций, как правило, элементарных. N не обязательно конечно. Т.е. теоретически любую ф-ию можно задать явно.
|
|
|
Матемаг Онлайн
|
|
Это не однозначная функция, начнём с того что. Если это не функция, то нельзя, например, доказать так, как для однозначных функций - с помощью разности.
|
|
|
|
|
Разность тоже будет неоднозначной функцией, но это не будет мешать ей быть непрерывной.
|
|
 |
|
|
Жил-был путь, соединяющий центр Москвы с Римом, минуя МКАД. Смотрим на его серединку. Она либо в зоне Москвы, либо за МКАДом. Т.е. у нас три точки: Москва, Москва/заМКАДье, замкадье. Убираем ту крайнюю точку, что повторилась, и снова делим кривую пополам. Серединка снова либо в замкадье, либо в Москве. Делим-делим, делим-делим. Расстояние между московской и замкадьевой точками вдоль кривой всё сокращается. По построению, стремимся к точке, к которой приблизились со стороны Москвы, совпадающей с точкой, к которой пришли со стороны замкадья. Предел — предельная точка Москвы и предельная точка замкадья. Это значит, что мы попали на кольцевую.
|
|
|
Матемаг Онлайн
|
|
София Риддл, надо глянуть, нет ли в доказательстве той теоремы чего-то, противоречащего неоднозначности функции.
Cheery Cherry, а вот это ещё лучше:) Конструктивизм! |
|
|
|
|
Там есть неточность, но я всё ещё на паре:)
|
|
|
Матемаг Онлайн
|
|
Конечно, например, "поделим кривую пополам" - проще делить проекцию кривой на прямую и не парить мозг, например. Но теперь я ясно вижу, что и доказательство Софьи, и твоё прямо ссылается на непрерывность функции, конкретно, на вложенные отрезки. Правда, с неоднозначными функциями... но, думаю, решаемо. Картинка в голове сложилось, это ня.
|
|
|
|
|
А, нет, то,что яимела в виду, оказалось не неточнгстью, ок
А то решение не прочла, ничего не скажу 1 |
|
|
Матемаг Онлайн
|
|
ОК.
Однофигственно, что так, что эдак, на непрерывность ссылается. И это прекрасно. Ясная картинка сложилась, за что вам обеим большое спасибо. Занимательно, что математиков-мужчин в блогах нету:) |
|
|
|
|
Думаю, момент неподходящий
Ты начал мое утро, эдакие шесть или сколько там часов утра)) |
|
|
Матемаг Онлайн
|
|
Хех, утро с матана. Ня или не ня?:)
|
|
|
|
|
Одним мозгом вникать в статью, другим — рисовать четырехугольничек. Было весело
|
|
|
Матемаг Онлайн
|
|
Рисовать четырёхугольничег?:) Хочу два мозга. Научи!
|
|
|
|
|
Ой, у меня многозадачность прямо нездоровая. Я часто не могу только слушать пару, и всё. Лучше воспринимаю, когда делаю два дела одновременно. Это мешает.
|
|
 |
|
|
Пусть данная кривая разбивает на компакты A и B четырёхугольник G, так, что А и В пересекаются только по этой кривой Г0.
По условию искомая кривая Г лежит в G, её точки есть и в А, и в В. Назовём множества таких точек АГ и ВГ. Из непрерывности отображения отрезка в кривую Г, получается, что такие множества имеют непрерывные прообразы, как-то расположенные на отрезке. Так как все точки отрезка отображаются в точки, лежащие только в A+B, то AГ+ВГ = наш отрезок. Так как на отрезке нет точек, не лежащих либо в АГ, либо в ВГ, а отрезок непрерывный, то получается, есть такие точки, лежащие и в АГ и в ВГ. Т.е. в их пересечении(надо ли тут доказывать?). По непрерывности и построению получаем, что такие точки лежат на пересечении А и В, что есть наша кривая Г0. ЧТД. Строгость можно и дальше наводить, но идея такая вот. Жду критики =) Кстати, все такие задачи так или иначе будут ссылаться на непрерывность |
|
|
Матемаг Онлайн
|
|
Cheery Cherry, а я б хотел себе многозадачность.
Mikie, когда вы упомянули "праобраз" и "компакты", я автоматически перестал читать. Выше в посте сказано про топологию:) |
|
|
|
|
получается, есть такие точки, лежащие и в АГ и в ВГ
А может, прообраз АГ — это [0, 1], а ВГ — (1, 2]. |
|
|
|
|
Эй, это второкурный матан же!
Компакт - это когда все точки множества лежат внутри множества. Кривая - это когда непрерывным отображением из отрезка(который пробегает параметр t) получаем мн-во (x(t),y(t)) соотвественно прообраз кривой - отрезок. это ещё нифига не топология) |
|
|
|
|
Cheery Cherry
АГ и ВГ - компакты |
|
|
Матемаг Онлайн
|
|
Mikie, *с подозрением* точно? Ладно, прочту.
"АГ и ВГ - компакты" - докажи! Cheery Cherry, "А может, прообраз АГ — это [0, 1], а ВГ — (1, 2]" - прямая может быть свёрнута в отрезок же или интервал. Они все "топологически эквивалентны", на точный термин моих знаний не хватает. Потому что имеют одну и ту же меру. |
|
|
Матемаг Онлайн
|
|
Между прочим, если уважаемая Софья ещё здесь, а можно ссылку или намёк, где искать, что любую функцию можно представить аналитически?
|
|
|
|
|
*все предельные точки принадлежат множеству
Ну так надо шевелиться и говорить, что вот, разбили на два замкнутых множества, а сверху наложили кривую, которая тоже замкнутое, и пересечение двух замкнутых замкнуто, а значит, и первый, и второй кусок / набор кусков новой кривой замкнут. Кривая была непрерывна, значит, первый и второй наборы соединены, и точки пересечения угодили и туда, и туда. |
|
|
|
|
Хорошо, щас попытаюсь.
Пусть всё как в примере и x=1 - предельная точка. Тогда её образ r лежит в АГ и любая проколотая окрестность r пересекается с BГ. Тогда либо r принадлежит ВГ(и тогда мы неправильно взяли прообраз и скобка должна быть квадратной), либо не принадлежит. Но если в любой её окрестности есть точки ВГ и AГ, то она является точкой непрерывности и принадлежит АГ и ВГ. Противоречие с тем, что она не принадлежит ВГ. |
|
|
|
|
Матемаг
Я забыла упомянуть про непрерывность)))) Ибо мы вроде как с ее учетом обсуждали... |
|
|
|
|
Cheery Cherry, я просто расписал подробнее.
Это плохо? |
|
|
|
|
Мики, то ли используете точку граничную, а не предельную, то ли где-то опечатка в АГ и ВГ, то ли я вас пе понимаю.
|
|
|
Матемаг Онлайн
|
|
Софья, хорошо, уточню, тогда где искать намёки или теоремы, что любые непрерывные функции обязательно можно определить аналитически?
|
|
|
Матемаг Онлайн
|
|
Mikie, угу, докажите, что кривая Г0 будет предельной. Нам про неё известно совсем ничего: она непрерывна, соединяет вот эти точки. Всё.
|
|
|
|
|
Граничная точка это либо предельная точка либо изолированная точка. Изолированных точек у нас как бы нет.
|
|
|
Матемаг Онлайн
|
|
*зануда ON*
Хорошо, тогда давайте глянем, почему ваше построение возможно, т.е., почему такое деление можно совершить. *зануда OFF* |
|
|
|
|
Эммм Г0 - компакт, потому что непрерывная кривая.
|
|
|
|
|
не понял.
Мы ничего не строим. Мы называем. Назвали мн-во А. Увидели, что оно компакт. И так далее. |
|
|
Матемаг Онлайн
|
|
Для того, чтобы подмножество в R^n было компактом, необходимо и достаточно замкнутости и ограниченности, да, теперь посмотрел, ограниченность по условию задачи, замкнутость - потому что непрерывная.
*ищет, к чему бы придраться* |
|
|
|
|
Матемаг
Дык любую функцию можно представить в виде суммы двух (и не только двух) функций. Пусть у нас есть есть ф-ия f(x). Представим ее в виде суммы любой явно заданной аналитически функции F(x) и неявно заданной g(x). У нас есть функция g(x). Представим ее в виде суммы явно заданной аналитически функции G(x) и неявно заданной у(x)... Повторять до полного удовлетворения)))) Я не зря упомянула про то, что число этих функций не обязательно конечно. |
|
|
Матемаг Онлайн
|
|
Всякий ли функциональный ряд сходится?
Любую ли функцию можно представить функциональным рядом? Почему? |
|
|
|
|
Так я не говорю о сходимости))))
|
|
|
Матемаг Онлайн
|
|
А как тогда проверить, верный ли ряд, соответствует ли он функции в каждой точке? Само представление функциональным рядом утратит смысл.
|
|
|
|
|
так я и сказала - теоретически))) можно разложить на сумму любых функций.
Все, в принципе, верно - должно быть практическое применение. Поэтому подобные разложения применяются не везде, а только там, где это оправдано. Собственно, представление функции аналитически должно быть выполнимо в реале))) иначе это действо лишено смысла... |
|
|
|
|
Есть бездна невычислимых чисел
Если мы никакое из них не можем задать, то значит ли это, что их не существует? Так же и с функциями. |
|
|
|
|
Ну вы же назвали "предельные" точки, а они не обязательно граничные.
|
|
|
|
|
ну и что? при чем тут граничные точки вообще, если замкнутое мн-во - это которое содержит свои предельные точки?
|
|
|
Матемаг Онлайн
|
|
Софья, а теперь мне захотелось примеров...
Mikie, мне скорее больше интересны неопределимые числа и функции. Чем гуще тьма, тем интересней! |
|
|
|
|
Каких примеров)?
|
|
|
Матемаг Онлайн
|
|
Примеров функций, которые можно разложить в ряд, но... ну, например, с каждый членом точность частичной суммы ряда будет меньше. Хочу экзотики! Меньше вычислимости, больше тьмы, меньше определяемости, больше мрака!
|
|
|
|
|
Дык оффтоп уже.
вообще есть алгоритмически неразрешимые проблемы, например https://ru.wikipedia.org/wiki/Десятая_проблема_Гильберта |
|
|
Матемаг Онлайн
|
|
Ну и что. Оффтоп ня.
|
|
Включить тёмную тему
VKontakte
WhatsApp
Telegram
Отключить рекламу
