Популярное- Новинки
- Горячие новинки
- Аудиофанфики
- Все фанфики
- Рекомендации
- Коллекции
- Заявки
- Конкурсы
- Фанфик в файл
- Таблица переводов
- 0
Включить тёмную тему - Справка по сайту
Популярное Включить тёмную тему
 Такой вопрос. Может кто-нибудь с навыками гугления или математики выше 9000 найти простое доказательство, что непрерывные кривые, соединяющие противолежащие точки выпуклого четырёхугольника ВНУТРИ НЕГО обязательно пересекутся? Или, иначе, дано:
- Плоскость, 2-мерное евклидово пространство - 2 произвольные несовпадающие прямые - На двух любых соседних лучах их пересечения берём 4 различные точки: любые 2 на одном, любые 2 на другом. - Соединяем вторую от точки пересечения точку первого луча с первой от точки пересечения второго и наоборот произвольными кривыми. Вопрос: почему они пересекутся? Подразумевается, что мне не надо будет осваивать 4-томный 6-летний курс топологии, чтобы понять ответ; матан, включая рассуждения на языке эпсилон-дельта понимаю, но не совсем понимаю, как их присобачить к кривым, не являющимся однозначными функциями с любой (бесконечной в том числе) длиной и возможностью произвольного числа самопересечений. http://dxdy.ru/topic81619.html - единственная найденная на тему ссылка. Куча топологических (печаль-тоска-Нургл) рассуждений прилагается. ...к вопросу "зачем мне это?" Ну. Одна любопытная задачка к такому сводится. Ещё интересней было бы увидеть конструктивное доказательство существования, к слову. #вопрос #математика #моё 21 ноября 2014
|
 |
|
|
С всего ты взял, что они пересекаются? Ты не задал перпендикулярность пересекающихся линий, но и не отрицал. Такш все на волю случая. Это я тебе как проктолог говорю.
|
|
 |
|
|
А как же вариант, что одна из них диагональ, а вторая идет в обход вне четырехугольника? И если ты имеешь в виду, что кривые должны проходить только по внутренности четырехугольника, то они обязаны пересечься и у невыпуклого.
Всё сводится к кривой без самопересечений. Она делит четырехугольник на две части. Второй кривой нужно соединить одну часть со второй, потому что одна вершина лежит в одной, а вторая — во второй. Кривой будет нужно где-то перейти из одной части в другую, момент перехода и есть пересечение. |
|
|
|
|
*затянулся второй раз*
|
|
|
|
|
Добавил "ВНУТРИ НЕГО". Т.е., каждая точка обеих кривых принадлежит множеству точек выпуклого четырёхугольника.
|
|
 |
|
|
Эээ. Стереометрия, конечно, не моё, но можно попробовать доказать это методом "от противного", т. е, принять за условие, то что прямые не пересекутся.
|
|
|
|
|
Ну, я вот добавила и ответила, нет?
|
|
|
|
|
Cheery Cherry, невыпуклый всегда можно разбить на два или более выпуклых и получить тот же вопрос.
|
|
|
|
|
Дык свойство для любого выполняется, зачем лишние сущности плодить.
|
|
|
|
|
Cheery Cherry, "Кривой будет нужно где-то перейти из одной части в другую, момент перехода и есть пересечение" - это неочевидно. Например, мне было когда-то очевидно, что всюду непрерывная кривая не может быть ВСЮДУ недифференцируема. Однако ж, фракталы.
"свойство для любого выполняется" - это неочевидно. Dart lea, здесь даже не стереометрия, объёма нету:) |
|
|
|
|
Привет, теорема о промежуточном значении.
|
|
|
|
|
Точно. А где Вам такую задачку задали, если не секрет? Есть хороший сервис "Школьные знания" туда вбиваете задачку и через пятнадцать минут вам обычно её решают, есть ещё ответы Мейл ру.
|
|
|
|
|
В нашем саентологическом колледже такого не рассказывают(
|
|
|
|
|
Dart lea, это не школьные знания. Все найденные мной намёки на решения относятся к топологии.
Cheery Cherry, и? Эта теорема "если непрерывная функция, определённая на вещественном интервале, принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними" ничего не даёт как таковая. То есть, да, она прекрасно описывает, что проекции этих двух кривых на координатные оси в одинаковых рамках - совпадут. Прекрасно, но, например, проекции двух параллельных друг другу, но не осям координат прямых тоже всюду совпадут. Но они не будут иметь общих точек. |
|
|
|
|
ниндзя, вас там гуглить учат? Нагугли мне ответ! Наверняка он есть, но моих навыков гуглежа не хватает.
|
|
 |
|
|
|
|
На Школьных знаниях студенты тоже спрашивают и получают ответ. А Ответы Мейл ру. - вообще хороший сервис.
|
|
|
|
|
К ней надо аккуратно подойти, и все получится. Я сейчас занята, потом.
|
|
|
|
|
Dart lea, там сидят математики? Не верю:)
howardstern, нет, там только ПРЯМЫЕ, а я веду речь о произвольных кривых:) Cheery Cherry, ОК. На самом деле, считаю этот путь тупиком. |
|
|
|
|
Эх, наверное, есть специализированные форумы для "математиков". Для физиков точно есть. значит и для математиков тоже есть где-то на просторе сети. Можно там попробовать спросить. Гугл вам в помощь...
|
|
|
|
|
Кроме того, она (теорема о промежуточном) - только для функций, а не для произвольных кривых. Что печально.
|
|
|
|
|
Dart lea, ссылку на один из них я дал в топике. Но там топология:)
|
|
|
|
|
Матемаг
Раз четырехугольник ВЫПУКЛЫЙ то можно соединить точки ABCD являющиеся его вершинами и при этом ЛИБО не пересечь кривых являющихся гранями, ЛИБО полностью с ними совпасть (если это прямая кривая... ох епт). Таким образом свобим задачу к выпуклому четырехугольнику с прямыми гранями и тогда доказываем через кинутую выше ссылку. P.s. вы тут пишете что не можете присобачить все это к кривым с произвольным числом самопересечений - но ведь если кривые являющиеся гранями четырехугольника будут самопересекаться, то он уже не будет именно ВЫПУКЛЫМ |
|
|
|
|
Слушай, а что неочевидного в том, что если ты был в центре Москвы, шел-шел-шел и оказался в Риме, то МКАД ты определенно перешел?))
|
|
|
|
|
Cheery Cherry, то, что я не могу это конструктивно и очевидно себе доказать. Кроме того, МКАД замкнутая кривая:) Здесь у нас нет условия замкнутости.
howardstern, по вашей ссылке речь идёт о диагоналях, т.е. о тупо ПРЯМЫХ. Если хотите, вообще выбросите четырёхугольник, сделаем замкнутую область на плоскости-ня, в составе границы которой нет прямых линий. Разделим её двумя перпендикулярными прямыми начетверо, в каждой из получившихся подобластей возьмём точку на границе первоначальной области... ну вы поняли. |
|
|
|
|
Я скрытно использовала замкнутость, образовав замкнутую кривую из первой кривой и одной пары сторон внутри нее. Задача стала звучать, как соединить второй кривой точку внутри первой модифицированной кривой и точку снаружи (оставшуюся свободную вершину), не пересекая эту мод. кривую.
|
|
|
|
|
Хм, но не забудь ограничить вторую кривую оставшимися сторонами четырёхугольника. Собственно, что так, что эдак.
|
|
|
|
|
Угу, но это ограничение неважно.
Ты всё ещё хочешь строгое-строгое доказательство? Или так, идеей, тоже покатит? |
|
|
|
|
Важно. Иначе можно, как ты в начале говорила, тупо выйти за пределы четырёхугольника и прийти в вершину, не пересекая первую кривую.
Если из этой идеи легко без затрагивания топологии и иже с ней вывести строгое доказательство, то давай. |
|
|
|
|
А, ну, кривые непрерывные, для любой кривой от вершины можно чуть-чуть отступить и оказаться уже строго внутри контура.
|
|
|
|
|
Тогда формулировка ня, да. И будет звучать как "доказать, что из точки в во внутреннюю область, ограниченную непрерывной кривой, нельзя провести непрерывную кривую, не пересекающую границу". Такая формулировка затрагивает ещё более общий спектр вариантов:)
|
|
|
|
|
М?
|
|
 |
|
|
Я бы попробовала принять кривые как функции, а затем рассмотреть их разность. Если разность хоть где-то ноль, то это точка пересечения.
|
|
|
|
|
Ну, как функции попроще, но менее интересно:) Я тоже думал, но как-то быстро шагнул от функций к кривым вообще. Например, няшно, если одна из кривых - кривая Коха. Производной нет нигде, а кривая непрерывная:)
*пошёл прикидывать с функциями* |
|
|
|
|
Cheery Cherry, ?
|
|
|
|
|
Из Википедии, кстати:
Если функции f\, и g\, непрерывны на отрезке \,[a,b], причем \,f(a)< g(a) и \,f(b) > g(b), то существует точка \xi \in (a,b), в которой \,f(\xi)=g(\xi). Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку. |
|
|
|
|
Что за варианты-то? Мне не нравится, что я вывожу тебя на топологию, и всё пытаюсь убедить одной идеей)
София, как и с Больцано-Коши, по-честному это не в строку будет. |
|
|
|
|
София Риддл, прочёл на вики (сюда фигово скопировалось). Да, пусть не так обще (для трапеции, однозначные функции), но всё равно то, что нужно. Где же найти доказательство этой няшности?
|
|
|
|
|
Cheery Cherry, ммм, ты не видишь, что твоё утверждение более общее, чем первоначальная задача?:) В любом случае, поди ж докажи его:)
|
|
|
|
|
Матемаг
В смысле доказательство этой няшности? Какой? Этого свойства? |
|
|
|
|
Да, этого свойства. Пойду скачаю книгу единственной ссылки внизу под викистатьёй, гляну там.
|
|
|
|
|
Нравится сводить сюда, потому что так нагляднее.
Пиф-паф, теорема Жордана, все воробьи умерли, пушечное ядро устремилось в космос :) |
|
|
|
|
Открыл теорему Жордана:
"Простая (то есть не имеющая самопересечений) плоская замкнутая кривая разбивает плоскость R^2 на две связные компоненты и является их общей границей". Иииии откуда следует, что в эту область, ограниченную плоской замкнутой кривой нельзя попасть, не пересекая эту прямую? Да, это очень очевидное утверждение, но не вижу, откуда это можно вывести вот так вот сразу. Покажи! |
|
|
|
|
Матемаг
Так тут проще - рассмотреть разность обеих функций. Разность непрерывных функций - функция непрерывная, а если непрерывная функция где-то меняет свой знак, то она в этом "где-то" равна нулю. А если разность этих функций равна нулю, то они пересекаются. |
|
|
|
|
О! Вот это уже и вправду просто. Спасибо:)
С общим случаем всё ещё затрудения, да. |
|
|
|
|
А какой общий случай?
|
|
|
|
|
Любые непрерывные кривые. Не обязательно даже аналитически задаваемые, я уж не говорю о дифференцируемости и прочих частностях. Самопересечения, бесконечные длины и так далее. Что угодно. Две непрерывные кривые, соединяющие внутри четырёхугольника противолежащие вершины. Доказать, что у них есть общая точка.
|
|
|
|
|
Без контура пространство — две компоненты связности, а несвязность ведет к линейной несвязности.
(Меня тут нет, и, к сожалению, моего мозга тоже, извиняюсь, я на паре)) |
|
|
|
|
*не понял, но прочитал про пару и промолчал*
|
|
|
|
|
Матемаг
А нахрена нам дифференцируемость, если ф-ия непрерывна? И самопересечения тоже не играют никакой роли. Как и бесконечные длины. Какая, нахрен, разница? |
|
|
|
|
Функция, не заданная аналитически, всего лишь функция, не заданная аналитически в явном виде. Ее можно представить в виде суммы N-го числа явно заданных функций, как правило, элементарных. N не обязательно конечно. Т.е. теоретически любую ф-ию можно задать явно.
|
|
|
|
|
Это не однозначная функция, начнём с того что. Если это не функция, то нельзя, например, доказать так, как для однозначных функций - с помощью разности.
|
|
|
|
|
Разность тоже будет неоднозначной функцией, но это не будет мешать ей быть непрерывной.
|
|
|
|
|
Жил-был путь, соединяющий центр Москвы с Римом, минуя МКАД. Смотрим на его серединку. Она либо в зоне Москвы, либо за МКАДом. Т.е. у нас три точки: Москва, Москва/заМКАДье, замкадье. Убираем ту крайнюю точку, что повторилась, и снова делим кривую пополам. Серединка снова либо в замкадье, либо в Москве. Делим-делим, делим-делим. Расстояние между московской и замкадьевой точками вдоль кривой всё сокращается. По построению, стремимся к точке, к которой приблизились со стороны Москвы, совпадающей с точкой, к которой пришли со стороны замкадья. Предел — предельная точка Москвы и предельная точка замкадья. Это значит, что мы попали на кольцевую.
|
|
|
|
|
София Риддл, надо глянуть, нет ли в доказательстве той теоремы чего-то, противоречащего неоднозначности функции.
Cheery Cherry, а вот это ещё лучше:) Конструктивизм! |
|
|
|
|
Там есть неточность, но я всё ещё на паре:)
|
|
|
|
|
Конечно, например, "поделим кривую пополам" - проще делить проекцию кривой на прямую и не парить мозг, например. Но теперь я ясно вижу, что и доказательство Софьи, и твоё прямо ссылается на непрерывность функции, конкретно, на вложенные отрезки. Правда, с неоднозначными функциями... но, думаю, решаемо. Картинка в голове сложилось, это ня.
|
|
|
|
|
А, нет, то,что яимела в виду, оказалось не неточнгстью, ок
А то решение не прочла, ничего не скажу 1 |
|
|
|
|
ОК.
Однофигственно, что так, что эдак, на непрерывность ссылается. И это прекрасно. Ясная картинка сложилась, за что вам обеим большое спасибо. Занимательно, что математиков-мужчин в блогах нету:) |
|
|
|
|
Думаю, момент неподходящий
Ты начал мое утро, эдакие шесть или сколько там часов утра)) |
|
|
|
|
Хех, утро с матана. Ня или не ня?:)
|
|
|
|
|
Одним мозгом вникать в статью, другим — рисовать четырехугольничек. Было весело
|
|
|
|
|
Рисовать четырёхугольничег?:) Хочу два мозга. Научи!
|
|
|
|
|
Ой, у меня многозадачность прямо нездоровая. Я часто не могу только слушать пару, и всё. Лучше воспринимаю, когда делаю два дела одновременно. Это мешает.
|
|
 |
|
|
Пусть данная кривая разбивает на компакты A и B четырёхугольник G, так, что А и В пересекаются только по этой кривой Г0.
По условию искомая кривая Г лежит в G, её точки есть и в А, и в В. Назовём множества таких точек АГ и ВГ. Из непрерывности отображения отрезка в кривую Г, получается, что такие множества имеют непрерывные прообразы, как-то расположенные на отрезке. Так как все точки отрезка отображаются в точки, лежащие только в A+B, то AГ+ВГ = наш отрезок. Так как на отрезке нет точек, не лежащих либо в АГ, либо в ВГ, а отрезок непрерывный, то получается, есть такие точки, лежащие и в АГ и в ВГ. Т.е. в их пересечении(надо ли тут доказывать?). По непрерывности и построению получаем, что такие точки лежат на пересечении А и В, что есть наша кривая Г0. ЧТД. Строгость можно и дальше наводить, но идея такая вот. Жду критики =) Кстати, все такие задачи так или иначе будут ссылаться на непрерывность |
|
|
|
|
Cheery Cherry, а я б хотел себе многозадачность.
Mikie, когда вы упомянули "праобраз" и "компакты", я автоматически перестал читать. Выше в посте сказано про топологию:) |
|
|
|
|
получается, есть такие точки, лежащие и в АГ и в ВГ
А может, прообраз АГ — это [0, 1], а ВГ — (1, 2]. |
|
|
|
|
Эй, это второкурный матан же!
Компакт - это когда все точки множества лежат внутри множества. Кривая - это когда непрерывным отображением из отрезка(который пробегает параметр t) получаем мн-во (x(t),y(t)) соотвественно прообраз кривой - отрезок. это ещё нифига не топология) |
|
|
|
|
Cheery Cherry
АГ и ВГ - компакты |
|
|
|
|
Mikie, *с подозрением* точно? Ладно, прочту.
"АГ и ВГ - компакты" - докажи! Cheery Cherry, "А может, прообраз АГ — это [0, 1], а ВГ — (1, 2]" - прямая может быть свёрнута в отрезок же или интервал. Они все "топологически эквивалентны", на точный термин моих знаний не хватает. Потому что имеют одну и ту же меру. |
|
|
|
|
Между прочим, если уважаемая Софья ещё здесь, а можно ссылку или намёк, где искать, что любую функцию можно представить аналитически?
|
|
|
|
|
*все предельные точки принадлежат множеству
Ну так надо шевелиться и говорить, что вот, разбили на два замкнутых множества, а сверху наложили кривую, которая тоже замкнутое, и пересечение двух замкнутых замкнуто, а значит, и первый, и второй кусок / набор кусков новой кривой замкнут. Кривая была непрерывна, значит, первый и второй наборы соединены, и точки пересечения угодили и туда, и туда. |
|
|
|
|
Хорошо, щас попытаюсь.
Пусть всё как в примере и x=1 - предельная точка. Тогда её образ r лежит в АГ и любая проколотая окрестность r пересекается с BГ. Тогда либо r принадлежит ВГ(и тогда мы неправильно взяли прообраз и скобка должна быть квадратной), либо не принадлежит. Но если в любой её окрестности есть точки ВГ и AГ, то она является точкой непрерывности и принадлежит АГ и ВГ. Противоречие с тем, что она не принадлежит ВГ. |
|
|
|
|
Матемаг
Я забыла упомянуть про непрерывность)))) Ибо мы вроде как с ее учетом обсуждали... |
|
|
|
|
Cheery Cherry, я просто расписал подробнее.
Это плохо? |
|
|
|
|
Мики, то ли используете точку граничную, а не предельную, то ли где-то опечатка в АГ и ВГ, то ли я вас пе понимаю.
|
|
|
|
|
Софья, хорошо, уточню, тогда где искать намёки или теоремы, что любые непрерывные функции обязательно можно определить аналитически?
|
|
|
|
|
Mikie, угу, докажите, что кривая Г0 будет предельной. Нам про неё известно совсем ничего: она непрерывна, соединяет вот эти точки. Всё.
|
|
|
|
|
Граничная точка это либо предельная точка либо изолированная точка. Изолированных точек у нас как бы нет.
|
|
|
|
|
*зануда ON*
Хорошо, тогда давайте глянем, почему ваше построение возможно, т.е., почему такое деление можно совершить. *зануда OFF* |
|
|
|
|
Эммм Г0 - компакт, потому что непрерывная кривая.
|
|
|
|
|
не понял.
Мы ничего не строим. Мы называем. Назвали мн-во А. Увидели, что оно компакт. И так далее. |
|
|
|
|
Для того, чтобы подмножество в R^n было компактом, необходимо и достаточно замкнутости и ограниченности, да, теперь посмотрел, ограниченность по условию задачи, замкнутость - потому что непрерывная.
*ищет, к чему бы придраться* |
|
|
|
|
Матемаг
Дык любую функцию можно представить в виде суммы двух (и не только двух) функций. Пусть у нас есть есть ф-ия f(x). Представим ее в виде суммы любой явно заданной аналитически функции F(x) и неявно заданной g(x). У нас есть функция g(x). Представим ее в виде суммы явно заданной аналитически функции G(x) и неявно заданной у(x)... Повторять до полного удовлетворения)))) Я не зря упомянула про то, что число этих функций не обязательно конечно. |
|
|
|
|
Всякий ли функциональный ряд сходится?
Любую ли функцию можно представить функциональным рядом? Почему? |
|
|
|
|
Так я не говорю о сходимости))))
|
|
|
|
|
А как тогда проверить, верный ли ряд, соответствует ли он функции в каждой точке? Само представление функциональным рядом утратит смысл.
|
|
|
|
|
так я и сказала - теоретически))) можно разложить на сумму любых функций.
Все, в принципе, верно - должно быть практическое применение. Поэтому подобные разложения применяются не везде, а только там, где это оправдано. Собственно, представление функции аналитически должно быть выполнимо в реале))) иначе это действо лишено смысла... |
|
|
|
|
Есть бездна невычислимых чисел
Если мы никакое из них не можем задать, то значит ли это, что их не существует? Так же и с функциями. |
|
|
|
|
Ну вы же назвали "предельные" точки, а они не обязательно граничные.
|
|
|
|
|
ну и что? при чем тут граничные точки вообще, если замкнутое мн-во - это которое содержит свои предельные точки?
|
|
|
|
|
Софья, а теперь мне захотелось примеров...
Mikie, мне скорее больше интересны неопределимые числа и функции. Чем гуще тьма, тем интересней! |
|
|
|
|
Каких примеров)?
|
|
|
|
|
Примеров функций, которые можно разложить в ряд, но... ну, например, с каждый членом точность частичной суммы ряда будет меньше. Хочу экзотики! Меньше вычислимости, больше тьмы, меньше определяемости, больше мрака!
|
|
|
|
|
Дык оффтоп уже.
вообще есть алгоритмически неразрешимые проблемы, например https://ru.wikipedia.org/wiki/Десятая_проблема_Гильберта |
|
|
|
|
Ну и что. Оффтоп ня.
|
|
Включить тёмную тему
VKontakte
WhatsApp
Telegram
Отключить рекламу
