Не "Экстремум - это игрек", а "Экстремум функции определяется значением функции".
И точка экстремума для функций с одним аргументом будет содержать два значения.
Уходи от графиков, они тебя только путают.

Ну, мы обозначали "точку экстремума" парой координат (ну или тройкой).

flamarina
Тут семантическая тонкость, насколько я что-то помню.
Экстремум это состояние души, понял ты или нет не координаты, а поведение функции. Мы говорим: "Функция F(x) достигает экстремума в точке x1". При этом значение функции в точке экстремума - дело глубоко вторичное и в точку экстремума в общем случае не включается.
Если у функции две переменных, у точки экстремума будет две координаты, если три, то три, и т.д.

Виктор Некрам
"Экстремум - это игрек" - я же сказала, что грубо говоря.
Что это такое, я знаю.
Вопрос именно в том, определять ли точку экстремума как точку на плоскости или как точку на оси абсцисс.
Второй вариант видела часто.

Нет никакой "точки" отдельно от экстремума. Виктор все правильно написал. Сколько переменных у функции, столько эту точку и определяет. Если y = f(x) , то это функция одной переменной, и тогда если в точке x1 она достигает экстремума, то у неё в этой точке есть какое-то значение y1. Так что экстремум это не игрек. Экстремум это свойство функции, которое говорит что в некоторой окрестности все ее другие значения меньше (или больше) чем в этой точке.

На всякий случай напомню, что функция – это не график. Это правило отображения одного числового множества на другое. График (для функции одного аргумента) или распределение (для функции двух аргументов) – просто удобный способ иллюстрации этого правила, не более. Поэтому и экстремум определяется не на графике, а на числовом множестве. Под точками экстремума в таком случае понимают такие значения аргумента функции x0, что для любого x из некоторой области [x0-delta; x0+delta] f(x)>f(x0) (минимум) или f(x)<f(x0) (максимум). То есть под точкой понимают вполне конкретное значение аргумента – абсциссы в графическом отображении. Если функция более чем одного аргумента – совокупность таковых значений аргументов.

См. напр. Г.М. Фихтенгольц "Основы математического анализа", т. 1, гл. 7, п. 1 "Изучение хода изменения функции".

Нет.

Это не связано с геометрией и графиком. Рисунок может что-то иллюстрировать, но экстремум это свойство функции, а не ее графика. Поэтому это вообще не точка. То есть это не точка в смысле геометрическом или графическом. Хотя называется тоже "точка". Что, конечно, может запутать.

Какие мы тут все умные XD

Если ссылки нужны, вот здесь вроде предельно ясно:
extremum.
Extrema of a Function.

Насчёт того, включать ли значение функции в описание экстремума, видел оба варианта в разных учебниках. Они равнозначны, поскольку значение из аргументов всегда легко получить. И поэтому же значение, строго говоря, избыточно.

ReznoVV
Почему? Можно выкручиваться в духе "график - это изображение функции", но де-факто и аналитическая запись - это "изображение функции", идеальных математических объектов не просто не существует, а существовать не может (это абстракции по умолчанию). Функция, по стандартному определению, есть множество пар (или троек-четвёрок-etc) элементов из некоторых множеств. График - это, ну, то же самое, разве нет? Разница разве что в добавлении осей координат, но это условность же. График полностью определяет функцию, функция полностью определяет график для любого конкретного выбранного типа графика (типа координат, по сути, способа изображать пары-тройки-четвёрки-etc). Т.е. при константном типе координат график и функция - это одно и то же. Можно, конечно, что-то придумывать в духе "не каждый график есть функция, вот "x = const" не функция", но это если сужать определение функции до однозначной, т.е. игры в терминологию.

Матемаг
Нет. Функция Дирихле как стандартный пример.

в выражении "максимум/минимум функции равен 5" (которое вы, вероятно, подразумевали под "экстремум - это игрек") подразумевается, что в некоторой области определении (для некоторых x) максимальное значение функции = 5. Зависит не только от поведения функции, но и от области определения. Например, у функции y = x нет никаких изгибов, это прямая. Т.е. нет никаких точек, где производная обращается в ноль или не существует. А вот максимум и минимум (экстремумы) на любом отрезке есть. Зато нету на любом интеграле.

Точка экстремума - это точка, принадлежащая некоторой области определения, в которой функция максимальна или минимальна. На декартовой плоскости это некие (x, y). То есть, экстремум ФУНКЦИИ (максимум или минимум выражения y(x)!) равен, например, 5. Это y. А точка экстремума - это, например, (-3; 5), т.е. включая и x. Для более сложных типов функций, например, в многомерном или бесконечномерном пространстве, будет больше аргументов функции. Для всяких неявных функций некорректно говорить об экстремуме функции, но можно говорить о точке экстремума или о критической точке, ну, вы поняли, потому что там не выражение y = f(x) = , а f(x, y) = 0. И далее по аналогии.

Матемаг
На достаточном уровне абстракции – да, но в большинстве образовательных задач это банально неудобно. Как насчёт изобразить точный график любой функции с точкой разрыва второго рода? Банальный y=tg(x) какой-нибудь или 1/x. Именно поэтому в образовательных задачах лучше делать акцент именно на том, что график функции – лишь иллюстрация самой функции, но не она сама.

Заяц, погоди, а в чём проблема? Это две прямые на графике. Когда мы не можем точно изобразить график по каким-то причинам, его рисуют приближённо, но это, хм, рисунок графика, а не "настоящий" график, который - идеальный объект. Но даже идеальное изображение функции Дирихле - это 2 прямые. Потому что для обоих типов значения аргумента получается... как там правильно... всюду плотная штуковина. То есть, какую бы малую область определения мы ни возьмём, всегда будет не просто бесконечность значений функции, а "равномерно распределённая" бесконечность значений функции, поэтому изображать надо тупо прямыми, не вижу никаких проблем. Можно что-то придумать с графиками, которые изображаются бесконечным числом отдельных точек, т.е. не просто всюду прерывные, но ещё и нигде не плотные, но, по аналогии, мы же какой-нибудь синус икс не рисуем "до конца"? Не рисуем. Потому что это физически невозможно, настоящий график функции бесконечен, а мы живём в конечном мире. Так же и здесь, просто рисуем приближение.

Ещё раз подчеркну, что график как математический объект и график как реальное изображение этого объекта - разные вещи.

ReznoVV, ну тут же инженерный подход используется, нет? Когда нам НАДО изобразить, то есть некоторая цель. Показать, что так-то и сяк-то, например. Проиллюстрировать поведение функции. Соответственно, изображение графика подгоняют по масштабу и месту так, чтобы оно иллюстрировало. Или показывало. Или можно было, хм, графически найти решение уравнения (это, вроде, очень клёвый лайфхак, кажется, финикийский торговец мне как-то кидал ссылку на книгу по практике ядерных взрывов для офицеров, там какие-то расчёты делались с помощью предварительно начерченных в книжке графиков с топовой точностью). Или ещё что-то. Идеальный объект нельзя реализовать в мир, но можно изобразить некую часть объекта, которая нас интересует, с нужной точностью. Ну. За исключением совсем уж неизображаемой хни, но неизображаемость - это ТОЖЕ иллюстрация, ага.

Матемаг
Короче, если для инженеров, то можно не заморачиваться. Если с точки зрения науки, то не выйдет. Ну и если очень грубо, то экспериментаторов обычно всякие тонкости не очень интересуют, а теоретиков — очень интересуют.

*зашла в тему, перекрестилась, с ужасом вспомнив первые курсы в универе на прикладной математике, вышла*
Не хочу быть умной, нафиг это.

ReznoVV
Карта это не территория (с)

Матемаг
Это называется номограмма. Ядерных взрывов не видел, но в газо- и гидродинамике они использовались очень широко - пока их не вытеснили компьютеры с готовыми программами.

Экстремум - переломный момент в жизни функции. Точка экстремума - координаты переломного момента. Человек - тоже функция, только пипец какая сложная, график с точками экстремума фиг нарисуешь

madness
Угу. Шел себе по жизни, а потом экстремум и гипс.

Виктор Некрам
Мдя, только об этом подумала) только про кирпич на голову

madness
Без точек экстремума график ещё сложнее нарисовать :D
Если эти точки у функции есть.

Большое всем спасибо!
Потихоньку запихиваю информацию в свой не то чтобы гуманитарный, но все же маленький мозг :D
Но если во время запихивания придут идиотские вопросы - я ж задам!

Кажется, я уместила в голову все, что могла :D
Как минимум на том уровне, который был мне нужен.
Хотя поняла, конечно, далеко не все. Буду пытаться дальше))
Еще раз всем спасибо!
(и теперь я знаю, кого прицельно приходить мучить))

вот наиболее общий подход к вопросу
https://ru.wikipedia.org/wiki/Задача_оптимизации

то же но в пространстве функций
https://ru.wikipedia.org/wiki/Оптимальное_управление